MOMENTO DE INERCIA DE UN ÁREA

SEGUNDO MOMENTO O MOMENTO DE INERCIA DE UN ÁREA.

Por ejemplo, considérese una viga de sección transversal uniforme la cual está sometida a dos pares iguales y opuestos que están aplicados en cada uno de los extremos de la viga. Se dice que una viga en tales condiciones está en flexión pura y en la mecánica de materiales se demuestra que en las fuerzas internas en cualquier sección de la viga son fuerzas distribuidas cuyas magnitudes varían linealmente con la distancia y que hay entre el elemento de área y un eje que pasa a través del centroide de la sección. Dicho eje representado por x como en la figura 9.1, se conoce como el eje neutro. Las fuerzas en un lado del eje neutro son fuerzas de compresión, mientras que las fuerzas en el otro lado son fuerzas de tensión; sobre el propio eje neutro de las fuerzas son iguales a cero. La magnitud de la resultante R de las fuerzas elementales F que actúan sobre toda la sección está dada por la fórmula La última integral obtenida se conoce como el primer momento Qx de la sección con respecto del eje x; dicha cantidad es igual a YA y por lo tanto, es igual a cero puesto que el centroide de la sección está localizado sobre el eje x. Por consiguiente el sistema de fuerzas F se reduce a un par. La magnitud m de dicho par debe ser igual a la suma de los momentos Mx = yF = Ky2 A de las fuerzas elementales. Integrando sobre toda la sección se obtiene: La última integral se conoce como segundo momento o momento de inercia, de la sección de la viga con respecto del eje x y se representa con Ix. El segundo momento se obtiene multiplicando cada elemento de área dA por el cuadrado de su distancia desde el eje x e integrándolo sobre la sección de la viga. Como cada producto y2 dA es positivo, sin importar el signo de y, o cero, la integral Ix siempre será positiva. Otro ejemplo de un segundo momento, o momento de inercia de un área lo proporciona el siguiente problema de hidrostática: Una compuerta circular vertical utilizada para cerrar el escurridero de un gran depósito está sumergida bajo agua como muestra la figura. ¿cuál es la resultante de las fuerzas ejercidas por el agua sobre la compuerta y cual es el momento de la resultante con respecto de la línea de intersección del plano de la compuerta y la superficie del agua ( eje x)?. Si la compuerta fuera rectangular, la resultante de las fuerzas de presión se podría determinar a partir de la curva de presión tal y como se hizo en los capítulos anteriores. Sin embargo puesto que la compuerta es circular, se debe utilizar un método más general. Representado por y la profundidad de un elemento de área A y por el ángulo gamma al peso específico del agua, la presión en el elemento es p = y y la magnitud de la fuerza elemental ejercida sobre A es F = pA =yA.

Por lo tanto, la magnitud de la resultante de las fuerzas elementales está dada por:

Y puede obtenerse el primer momento QX = ydA del área de la compuerta con respecto del eje x. El momento Mx de la resultante debe ser igual a la suma de los momentos Mx = yF = y2 A de las fuerzas elementales. Integrando sobre el área de la compuerta, se tiene que Aquí, nuevamente, la integral obtenida representa el segundo momento o momento de inercia, Ix del área con respecto del eje x.

Momentos de inercia

Estas integrales que se conocen como los momentos rectangulares de inercia del área A, pueden calcularse fácilmente si se escoge para dA una franja angosta paralela a uno de los ejes coordenados. Para calcular Ix, escogemos una franja paralela al eje x, tal que todos los puntos que la componen estén a la misma distancia y del eje x (figura 9.3b); el momento de inercia dIx de la franja se obtiene, entonces, multiplicando el área dA de la franja por y2. Para calcular Iy, la franja se escoge paralela al eje y tal que todos los puntos que la forman estén a la misma distancia x del eje y (figura 9.3c); el momento de inercia dIy de la franja es x2dA.

Dx dIy = x2dA

Momento de inercia de una área rectangular.

Como ejemplo. deter- minaremos el momento de inercia de un rectángulo con respecto a su base (figura 9.4). Dividiendo el rectángulo en franjas paralelas al eje x. obtenemos

dA = b dy dlz = y2b dy lx = by2 dy = 1/3bh3 (9.2)

Cálculo de Ix e Iy de las mismas franjas elementales. La fórmula que acabamos de derivar puede usarse para determinar el momento de inercia dlx con respecto al eje x de una franja rectangular paralela al eje y. tal como la mostrada en la figura 9.3c. Haciendo b = dx y h=y en la fórmula (9.2), escribimos dIx = 1/3y3 dx Por otra parte se tiene dIy = x2 dA = x2y dx

Por lo tanto, se puede utilizar el mismo elemento para calcular los momentos de inercia Ix e Iy de un área dada en la siguiente figura.

Dx dIx = 1/3y3 dx dIy = x2y dx

PROBLEMA RESUELTO

(a) Determinar el momento polar centroidal de inercia de una área circular por integración directa. (b) Usando el resultado de la parte (a), determinar el momento de inercia de una área circular con respecto a su diámetro.

Solución:

Momento polar de inercia. Escogemos un elemento anular diferencial de área. Como todas las partes de esta área diferencial están a la misma distancia del origen. Escribimos.

dJo = u2dA dA = 2 u du

Jo = /2 ( r4 )

b. Momento de inercia. Debido a la simetría del área circular tenemos Ix = IY , luego entonces escribimos:

Jo = IX +IY = 2IX /2 (r4) = 2IX

I DIÁMETRO = IX = /4 (r4)

MOMENTO POLAR DE INERCIA

Una integral de gran importancia en los problemas relacionados con la torsión barras cilíndricas y en los problemas relacionados con la rotación de placas es la siguiente

Jo = r2 dA

Donde r es la distancia desde 0 hasta el área elemental da (figura 9.6). Esta integral es el momento polar de inercia del área A con respecto del "polo' 0.

El momento polar de inercia de un área dada puede calcularse a partir de momentos rectangulares de inercia I X

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