Momento De Inercia

Momento de inercia

Una bailarina tendrá más momento de inercia si extiende los brazos, girando más rápido si los contrae.

El momento de inercia o inercia rotacional es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Más concretamente el momento de inercia es una magnitud escalar que refleja la distribución de masas de un cuerpo o un sistema de partículas en rotación, respecto al eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.

El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido.

Ecuaciones del momento de inercia

¿Cuál de estos giros resulta más difícil?

El momento de inercia de un cuerpo indica su resistencia a adquirir una aceleración angular.

Para una masa puntual y un eje arbitrario, el momento de inercia es:

donde m es la masa del punto, y r es la distancia al eje de rotación.

Dado un sistema de partículas y un eje arbitrario, se define como la suma de los productos de las masas de las partículas por el cuadrado de la distancia r de cada partícula a dicho eje. Matemáticamente se expresa como:

Para un cuerpo de masa continua (Medio continuo), se generaliza como:

El subíndice V de la integral indica que se integra sobre todo el volumen del cuerpo.

Este concepto desempeña en el movimiento de rotación un papel análogo al de masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. La masa es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en traslación y el Momento de Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotación. Así, por ejemplo, la segunda ley de Newton: tiene como equivalente para la rotación:

donde:

• es el momento aplicado al cuerpo.

• es el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotación y

• es la aceleración angular.

La energía cinética de un cuerpo en movimiento con velocidad v es , mientras que la energía cinética de un cuerpo en rotación con velocidad angular ω es , donde I es el momento de inercia con respecto al eje de rotación.

La conservación de la cantidad de movimiento o momento lineal tiene por equivalente la conservación del momento angular :

El vector momento angular, en general, no tiene la misma dirección que el vector velocidad angular . Ambos vectores tienen la misma dirección si el eje de giro es un eje principal de inercia. Cuando un eje es de simetría entonces es eje principal de inercia y entonces un giro alrededor de ese eje conduce a un momento angular dirigido también a lo largo de ese eje.

Teorema de Steiner o teorema de los ejes paralelos

El teorema de Steiner (denominado en honor de Jakob Steiner) establece que el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masa, es igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de masa más el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes:

donde: Ieje es el momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro de masa; I(CM)eje es el momento de inercia para un eje paralelo al anterior que pasa por el centro de masa; M - Masa Total y h - Distancia entre los dos ejes paralelos considerados.

La demostración de este teorema resulta inmediata si se considera la descomposición de coordenadas relativa al centro de masas C inmediata:

donde el segundo término es nulo puesto que la distancia vectorial promedio de masa en torno al centro de masa es nula, por la propia definición de centro de masa.

El centro de gravedad y el centro de masa pueden no ser coincidentes, dado que el centro de masa sólo depende de la geometría del cuerpo, en cambio, el centro de gravedad depende del campo gravitacional en el que está inmerso dicho cuerpo.

Pasos para calcular el momento de inercia de áreas compuestas

1. Dividir el área compuesta en varias partes que sean simples

2. Determinar las áreas de las partes, designarlas por .

3. Determinar las coordenadas del centro de masas de estas partes con respecto a los ejes X e Y. Y calcular el cdm de toda la figura formada por todas las áreas parciales anteriores.

4. Calcular las distancias de los cdm de cada área respecto al cdm total de la figura.

5. Calcular los momentos de inercia de las partes respecto a sus ejes de centro de masas (que serán paralelos a x e y). Designar como: Ii,x e Ii,y, para el área i-ésima.

6. Calcular el momento de inercia de cada parte respecto a los ejes x e y aplicando el teorema del eje paralelo, es decir, el teorema de Steiner: y

7. Calcular los momentos de inercia del área compuesta a partir de los momentos anteriores: e

Tensor de inercia de un sólido rígido

El tensor de inercia de un sólido rígido, es un tensor simétrico de segundo orden, que expresado en una base ortonormal viene dado por una matriz simétrica, cuyas componentes tensoriales son:

Donde:

son las coordenadas para nombrar a los puntos del cuerpo.

, es la llamada delta de Kronecker definida como:

A los elementos se los llama momento de inercia respecto del eje i y tienen las mismas propiedades que los momentos de inercia considerados anteriormente. Si usamos un sistema de coordenadas cartesiano XYZ y calculamos en ellos el tensor, sus componentes vienen dadas por los tres momentos de inercia siguientes:

Y los tres productos de inercia según los mismos ejes:

Todas las formas anteriores pueden resumirse en la siguiente fórmula tensorial:

Donde y donde .

El momento con respecto a cualquier otro eje puede expresarse como combinación lineal anterior de las anteriores magnitudes:

Donde la matriz es el tensor de inercia expresado en la base XYZ y t = (tx, ty, tz) es el vector paralelo al eje según el cual se pretende encontrar el momento de inercia.

Primer momento de área

El primer momento de área (también momento estático o de primer orden) es una magnitud geométrica que se define para un área plana. Normalmente aparece en el contexto del cálculo de vigas en ingeniería estructural, en particular la tensión cortante media dada por la fórmula de Collignon, que es proporcional al primer momento de área de una subsección de la sección transversal de la viga. El primer momento de área coincide con el producto del área total multiplicado por la distancia entre el punto considerado al centroide del área.

Primer momento de área

Los momentos de primer orden de un área, se designan por la letra S o Q. Dado un eje o recta se define el primer momento de área de el área A respecto a un eje de ecuación viene dado por la integral sobre el área de la distancia al eje fijado:

Si consideramos coordenadas x e y centradas en el centro de masas y se calculan los primeros momentos de área respecto a los ejes coordenados, por la propia definición de centro de masas:

Eso implica que para cualquier otro eje que pase por el centro de gravedad de la sección se tiene:

El cálculo respecto a un eje cualquiera que no pase por en centro de masas es trivial ya que:

Donde resulta que c coincide con la distancia de ese eje al centro de gravedad y el resultado anterior es el equivalente del teorema de Steiner para el primer momento de área.

Primer momento de área parcial

Área parcial para el cálculo de la tensión cortante.

Como se ha visto en la sección anterior el primer momento de área calculado respecto al centro de gravedad de la sección es siempre nulo. Sin embargo, si se considera un área parcial de una sección y se calcula el primer momento de área respecto al centro de gravedad de la sección competa el resultado no es cero. Designaremos a este primer momento de área parcial por la letra y su valor vendrá dado por:

Para una sección rectangular de dimensiones 2h x b se tiene:

El cálculo de este momento se requiere para el cálculo de la tensión cortante sobre la línea punteada (ver figura) de acuerdo con la fórmula de Collignon-Jourawski (o Collignon-Zhuravski).

Segundo momento de área

Artículo principal: segundo momento de área

Análogamente al primer momento de área se define el segundo momento de área, o momento de inercia, como:

Que puede expresarse en función de los segundos momentos de área respecto al centro de masas como:

Este último resultado de demostración inmediata se conoce como teorema de Steiner.

Momentos de área de orden superior

En general se definen los n-ésimos momento de área de una área plana como las integrales del tipo:

Donde la integral se extiende sobre sobre todo el dominio plano A de ℝ² y donde la distancia r es la distancia a un eje contenido en el mismo plano que contiene al área. En particular se definen los dos momentos n-ésimos de área como:

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