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Calculo Integral

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Categoría: Temas Variados

Enviado por: tolero 26 marzo 2011

Palabras: 1631 | Páginas: 7

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métodos de integración consisten en la determinación de una función primitiva cuando esta determinación no es directa. El cálculo de integrales indefinidas directas se refiere a aquellas cuya función primitiva puede ser

determinada con la simple definición.

Se eligen aplicaciones adecuadas a las competencias previas de los estudiantes, para que sean ellos quienes planteen por sí mismos la integral a resolver.

Se incluye la serie de Taylor como una herramienta para la representación de funciones como una serie de potencias. También para calcular integrales definidas de funciones con primitivas difícil de determinar.

Aportación al perfil.

El cálculo Integral contribuye a desarrollar un pensamiento lógico, heurístico y algorítmico al modelar fenómenos y resolver problemas en los que interviene la variación.

Objetivo de aprendizaje.

• • Dominar el concepto de Integral. Aprender los métodos de integración propuestos y distinguir cuál puede ser más adecuado para resolver una integral dada. Resolver problemas de cálculo de áreas, centroides, longitud de arco y volúmenes de sólidos de revolución. Reconocer la importancia del cálculo integral en ingeniería.

• •

Competencias Previas

• • • • • • Dominar el cálculo diferencial Habilidad para calcular derivadas y diferenciales Analizar las funciones Dominio del álgebra, identidades y funciones trigonométricas. Uso eficiente de la calculadora. Transcribir un problema al lenguaje simbólico

Comprender el concepto de integral definida y sus propiedades

Teorema Fundamental del Cálculo 1.1 Medición aproximada de figuras amorfas 1.2 Notación sumatoria 1.3 Sumas de Riemann 1.4 Definición de integral definida 1.5 Teorema de Existencia 1.6 Propiedades de la integral definida

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Comprender el Teorema Fundamental del Cálculo Visualizar la relación entre cálculo diferencial y el cálculo integral

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Calcular integrales definidas Aplicar las propiedades de la integral definida

1.7 Función Primitiva 1.8 Teorema Fundamental del Cálculo

1.9 Cálculo de integrales definidas 1.10 Integrales Impropias

Integral Indefinida y métodos de integración 2.1 Definición de integral indefinida Dominar los métodos de integración propuestos, discernir cuál puede ser el método más adecuado para calcular una función primitiva de la función a integrar. Determinar una función primitiva. 2.2 Propiedades de integrales indefinidas 2.3 Cálculo de integrales indefinidas 2.3.1 Directas 2.3.2 Cambio de variable 2.3.3 Trigonométricas 2.3.4 Por partes 2.3.5 Sustitución trigonométricas 2.3.6 Fracciones parciales

Aplicaciones de la integral 3.1 Longitud de curvas • Interpretar enunciados de problemas para construir la función que al integrarla dé la solución. Resolver problemas de cálculo de áreas, centroides, longitud de arco y volúmenes de sólidos de revolución. Reconocer el potencial del cálculo integral en la ingeniería. 3.2 Áreas 3.2.1 Área bajo la función 3.2.2 Área entre funciones 3.3 Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución 3.4 Cálculo de Centroide 3.5 Otras aplicaciones

Series

4.1 Definición 4.1.1 Serie finita. 4.1.2 Serie infinita • • • • Comprender la definición de series finitas e infinitas Determinar la convergencia de una serie infinita. Comprender el teorema de Taylor. Representar una función en serie de potencias y aplicar esta representación para calcular la integral de la función. 4.2 Series numérica 4.3 Serie de potencia 4.4 Convergencia y radio de convergencia 4.5 Serie de Taylor 4.6 Representación de una función en series de potencias 4.7 Cálculo de Integrales de funciones expresadas como una serie de potencias

Sugerencias didácticas • Buscar elementos tangibles, actividades concretas con las que pueda iniciarse algunos de los temas en las diferentes unidades para que el alumno tenga un primer acercamiento y de manera intuitiva inicie la conceptualización del tema • Diseñar y proponer problemas en los que haya información no necesaria para propiciar que el alumno discrimine entre la información relevante e irrelevante • Consultar y usar el origen histórico de algunos de los temas para dar contexto a los temas y que el alumno conozca como se generó el conocimiento. • Fomentar actividades grupales que propicien la comunicación, el intercambio de ideas, la reflexión, la integración y colaboración de pares. • Propiciar el uso de software educativo. • Llevar a cabo actividades prácticas que promuevan el desarrollo de habilidades para la experimentación, tales como: obsevación, identificación, manejo y control de variables y datos relevantes. • Propiciar el uso adecuado de conceptos y de terminologías científicotecnológica. • Interrelacionar las academias correspondientes, promoviendo reuniones en las que se discutan las necesidades de aprendizaje de los estudiantes, la profundidad con que se abordará cada uno de los temas y análisis de problemas que relacionen una materia con otras. • Contextualizar los contenidos del curso en situaciones de la vida real destacando la pertinencia y relevancia en su carrera profesional.

Actividades de Aprendizaje Unidad 1

• Calcular el área aproximada de figuras planas amorfas proponiendo una cota superior e inferior para la misma. Repetir lo anterior para figuras limitadas por curvas (de las que no se tenga la forma explicita de la función) en el plano cartesiano. Proponer la primitiva para funciones sencillas a partir de la definición de función primitiva (antiderivada). Justificar geométricamente el Teorema Fundamental del Cálculo.(ver práctica 1). Consultar el enunciado del Teorema Fundamental del Cálculo en diferentes fuentes y establecer la relación entre el enunciado y la práctica 1. Calcular integrales definidas diversas

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Unidad 2

• Utilizar las propiedades de linealidad de la integral indefinida para obtener la primitiva de otras funciones.

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Resolver integrales que requieran modificación o reinterpretación para adecuarlas a una fórmula. Aprender un nuevo método de integración cuando lo ya estudiado no resuelve el problema a resolver (adquirir una nueva herramienta cuando las que ya se tienen resultan insuficientes) Ante un grupo de integrales a resolver, seleccionar el método más adecuado según la función integrando. Incluir límites de integración constantes y variables en algunas de las integrales a resolver para reforzar la competencia en evaluación de la integral definida.

Unidad 3 • Hacer una recopilación de expresiones matemáticas en las que aparezcan integrales en la bibliografía de ingeniería. Identificando de qué tema se trata y las variables físicas que están involucradas en la expresión. • Elaborar enunciados de problemas de aplicación de la integral, inéditos. Unidad 4 • Comenzar la sensibilización del tema con la práctica 4.1

Prácticas

1.1 Cálculo de áreas amorfas 1.2 Calcular el área bajo la curva de una función definida por tramos presentada gráficamente. Asociar la gráfica que resulta del cálculo del área como una función creciente conforme crece la abscisa considerada. Se sugiere que la elaboración de la segunda gráfica se realice en intervalos más finos, para que sea posible observar que la segunda gráfica queda como una función que resulta ser la primitiva de la primera gráfica. Se puede observar que las ordenadas de la segunda función para cada valor de la abscisa corresponden con el área acumulada de la primera gráfica desde el origen hasta ese valor de abscisa. (A la sección lineal le corresponde una cuadrática; a la sección constante, una lineal)

v 2

t 0 p 14 11 3 7 10

3 t 0 3 7 10

Práctica 4.1 Granos de trigo en el tablero de ajedrez Cuenta la leyenda sobre el inventor del juego de ajedrez: El Brahmán Lahur Sessa, también conocido como Sissa Ben Dahir (recordemos que Ben Dahir significa “hijo de Dahir”), escuchó que el Rey Iadava estaba triste por la muerte de su hijo y fue a ofrecerle el juego del ajedrez como entretenimiento para olvidar sus penas; el rey quedó tan satisfecho con el juego, que quiso agradecer al joven otorgándole lo que éste pidiera. Sessa lo único que pidió fue trigo, pidió que el rey le diera un grano de trigo por la primera casilla del ajedrez, el doble por la segunda, y así sucesivamente doblando la cantidad anterior con cada nueva casilla hasta llegar a la casilla número 64. Iadava accedió a esta petición, pero cuando hizo los cálculos se dio cuenta que la petición era imposible de cumplir. ¿Cuántos granos de trigo tendría que dar el rey al inventor? Si se asigna un peso, digamos un décimo de gramo a cada grano de trigo, cuántas toneladas se tendrían? Si se paga una tonelada por segundo, en cuántos siglos se salda la cuenta?

Unidad 4

Unidad 4

Competencias a desarrollar. Discriminar entre información relevante e irrelevante