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Vectores En El Plano Cartesiano

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Categoría: Informes De Libros

Enviado por: Helena 29 abril 2011

Palabras: 1791 | Páginas: 8

...

ódulo, la misma dirección y el mismo sentido.

[pic]

Expresión de un vector en forma polar:

En la figura se representa un sistema de coordenadas polares en el plano, el centro de referencia (punto O) y la línea OL sobre la que se miden los ángulos. Para referenciar un punto se indica la distancia al centro de coordenadas y el ángulo sobre el eje OL.

• El punto (3, 60º) indica que está a una distancia de 3 unidades desde O, medidas con un ángulo de 60º sobre OL.

• El punto (4, 210º) indica que está a una distancia de 4 unidades desde O y un ángulo de 210º sobre OL.

[pic]

Un aspecto importante del sistema de coordenadas polares, que no está presente en el sistema de coordenadas cartesianas, es que un único punto del plano puede representarse con un número infinito de coordenadas diferentes. Se puede decir entonces que en el sistema de coordenadas polares no hay una función biyectiva entre los puntos del espacio y las coordenadas. Esto ocurre por dos motivos:

• Un punto, definido por un ángulo y una distancia, es el mismo punto que el indicado por ese mismo ángulo más un número de revoluciones completas y la misma distancia. En general, el punto (r, θ) se puede representar como (r, θ ± n×360°) o (−r, θ ± (2n + 1)180°), donde n es un número entero cualquiera.[4]

• El centro de coordenadas está definido por una distancia nula, independientemente de los ángulos que se especifiquen. Normalmente se utilizan las coordenadas arbitrarias (0, θ) para representar el polo, ya que independientemente del valor que tome el ángulo θ, un punto con radio 0 se encuentra siempre en el polo.[5] Estas circunstancias deben tenerse en cuenta para evitar confusiones en este sistema de coordenadas. Para obtener una única representación de un punto, se suele limitar r a números no negativos r ≥ 0 y θ al intervalo [0, 360°) o (−180°, 180°] (en radianes, [0, 2π) o (−π, π]).[6]

Los ángulos en notación polar se expresan normalmente en grados o en radianes, dependiendo del contexto. Por ejemplo, las aplicaciones de navegación marítima utilizan las medidas en grados, mientras que algunas aplicaciones físicas (especialmente la mecánica rotacional) y la mayor parte del cálculo matemático expresan las medidas en radianes.[7]

Vectores libres en el plano:

El conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí se llama vector libre. Es decir los vectores libres tienen el mismo módulo, dirección y sentido.

[pic]

Vectores notables:

Los vectores notables son los denominados e1,e2,...en, donde 1,2,...,n son subíndices, y se escriben de la siguiente forma (0,0,0,...,0,1,0,...,0) donde el 1 está en la n-esima posición.

Otro vector notable es el nulo (0, 0, 0,0,...,0)

¿porqué son notables? porque el conjunto de vectores 1, 2,3...,n y el nulo forman cualquier espacio R^n

Adicción y resta de vectores:

Suma de vectores

[pic]

Para sumar dos vectores libres [pic]y [pic]se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo de uno coincida con el origen del otro vector.

[pic]

Regla del paralelogramo

Se toman como representantes dos vectores con el origen en común, se trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores.

Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.

[pic]

[pic]

Propiedades de la suma de vectores:

Asociativa

[pic]+ ([pic] + [pic]) = ([pic] + [pic]) + [pic]

Conmutativa

[pic]+ [pic]= [pic]+ [pic]

Elemento neutro

[pic]+ [pic]= [pic]

Elemento opuesto

[pic]+ (− [pic]) = [pic]

Resta de vectores

[pic]

Para restar dos vectores libres [pic]y [pic]se suma [pic]con el opuesto de [pic].

Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores.

[pic]

[pic]

Ejemplo

[pic]

[pic]

[pic]

Producto de un número real por un vector:

El producto de un vector [pic] (no nulo), por un número real k es otro vector [pic], cuyas componentes se obtienen multiplicando por k las componentes de [pic].

Ejemplos:

Vector combinación lineal

Un vector [pic]se dice que es combinación lineal de un conjunto de vectores [pic]si existe una forma de expresarlo como suma de parte o todos los vectores de [pic]multiplicados cada uno de ellos por un coeficiente escalar [pic], de forma que:

[pic].

Así, [pic] es combinación lineal de vectores de [pic]si podemos expresar [pic]como una suma de múltiplos de una cantidad finita de elementos de [pic].

Ejemplo: 2x + 3y − 2z = 0. Se dice que z es combinación lineal de x y de y, porque podemos escribir [pic]sin más que despejar la z. De la misma manera, despejando oportunamente, cada una de estas variables se podría expresar como combinación lineal de las otras dos.

En otras palabras, cuánto de cada vector del conjunto [pic]necesito para que, cuando se combinen linealmente dichos elementos, pueda formar al vector [pic]en cuestión.

[pic]

Dependencia e independencia lineal:

En álgebra lineal, un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes. Por ejemplo, en R3, los vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) son linealmente independientes, mientras que (2, −1, 1), (1, 0, 1) y (3, −1, 2) no lo son, ya que el tercero es la suma de los dos primeros.

Sea {v1, v2,..., vn} un conjunto de vectores. Decimos que son linealmente dependientes si existen números 'a1, a2,..., an, no todos iguales a cero, tal que:

[pic]

Nótese que el símbolo a la derecha del signo igual no es cero, sino que simboliza al vector nulo. El conjunto de vectores nulos forma la matriz nula.

Si tales números no existen, entonces los vectores son linealmente independientes.

Utilizando conceptos de espacios vectoriales podemos redefinir la independencia lineal así:

Un conjunto de vectores U de un espacio vectorial es linealmente independiente si ∀ [pic]

Esta idea es importante porque los conjuntos de vectores que son linealmente independientes y generan a un espacio vectorial, forman una base para dicho espacio.

Entre las propiedades de los vectores linealmente dependientes e independientes encontramos:

1. Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y solamente si alguno de los vectores es combinación lineal de los demás.

2. Si un conjunto de vectores es linealmente independiente cualquier subconjunto suyo también lo es.

Obviamente, si tenemos un conjunto de vectores tales que ninguno de ellos es combinación de los demás, escogiendo solamente unos cuantos, no podrán ser combinación de los otros.

1. Si un conjunto de vectores es linealmente dependiente también lo es todo conjunto que lo contenga.

Ya que un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y solo si tiene algún vector que es combinación lineal de los demás, si metemos este conjunto de vectores en otro más grande, seguimos teniendo el vector que es combinación lineal de otros, por tanto, el conjunto más grande sigue siendo linealmente dependiente.

La base canónica del espacio vectorial v2:

Base canónica de V2:

Sean [pic] dos vectores ortogonales y de módulo unidad: [pic][pic] se puede expresar como:

[pic]

Vector unitario:

En álgebra lineal y en la Física, un vector unitario o versor es un vector de módulo uno.

En ocasiones se lo llama también vector normalizado.

Sea el vector v ∈ ℝn. Se dice que v es un vector unitario y se lo denota mediante [pic]si y solamente si |v| = 1.

O en forma más compacta:

[pic]

Producto escalar de 2 vectores:

El producto interior o producto escalar de dos vectores en un espacio vectorial es una forma bilineal, hermética y definida positiva, por lo que se puede considerar una forma cuadrática definida positiva.

Un producto escalar se puede expresar como una aplicación [pic]donde V es un espacio vectorial y [pic]es el cuerpo sobre el que está definido V. [pic]debe satisfacer las siguientes condiciones:

1. Linealidad por la izquierda y por la derecha: [pic], y análogamente [pic]

2. Hermicidad: [pic],

3. Definida positiva: [pic], y [pic]si y sólo si x = 0,

donde [pic]son vectores de V, [pic]representan escalares del cuerpo [pic]y [pic]es el conjugado del complejo c.

Si el cuerpo tiene parte imaginaria nula (v.g., [pic]), la propiedad de ser sesqui lineal se convierte en ser bilineal y el ser hermética se convierte en ser simétrica.

También suele representarse por [pic]o por [pic].

Un espacio vectorial sobre el cuerpo [pic]o [pic]dotado de un producto escalar se denomina espacio prehilbert o espacio prehilbertiano. Si además es completo, se dice que es un espacio de hilbert, y si la dimensión es finita, se dirá que es un espacio euclídeo.

Todo producto escalar induce una norma sobre el espacio en el que está definido, de la siguiente manera:

[pic].

-----------------------

24

[pic]

3

[pic]

15

6

[pic]

12

18

9

3

6

9

x

[pic]

y

21

-3

[pic]

-6

-12

-9

-3

-6

-12

-9

[pic]