Actividad 1: U2: área Entre Curvas

Actividad 1: U2: área entre curvas

Calculo integral

Cuarto cuatrimestre

1.- y=x^2 ; y=4x

Se igualan las dos ecuaciones teniendo

x^2=4x

x^2-4x=0

(x)(x-4)=0

x=0

x=4

A=∫_0^4▒(4x-x^2 )dx=∫_0^4▒4xdx-∫_0^4▒〖x^2 dx〗=4∫_0^4▒xdx-∫_0^4▒〖x^2 dx〗=4[x^2/2] ■(4@0)-[x^3/3] ■(4@0)=2[x^2 ] ■(4@0)-1/3 [x^3 ] ■(4@0)=2[4^2-0^2 ]-1/3 [4^3-0^3 ]=2(16-0)-1/3 (64-0)=2(16)-1/3 (64)=32-64/3=96/3-64/3=32/3 u^2

2,. y=x+1 ; y=9-x^2

A=∫_(-1)^2▒[(9-x^2 )-(x+1) ]dx=∫_(-1)^2▒(9-x^2-x-1)dx=∫_(-1)^2▒(-x^2-x+8)dx=∫_(-1)^2▒〖-x^2 dx+〗 ∫_(-1)^2▒〖-xdx+〗 ∫_(-1)^2▒8dx=-∫_(-1)^2▒x^2 dx-∫_(-1)^2▒xdx+8∫_(-1)^2▒dx=-[x^3/3] ■(2@-1)-[x^2/2] ■(2@-1)+8[x] ■(2@-1)=-(((2^3 )-(〖-1〗^3 ))/3)-(((2^2 )-(〖-1〗^2 ))/2)+8((2)-(-1) )=-((8+1)/3)-((4-1)/2)+8(2+1)=-(9/3)-(3/2)+8(2+1)=-3-1.5+24=19.5 u^2

3.- y = x ; y = 3 x ; x + y = 4

Igualando la primera y segunda ecuación para encontrar el punto de intersección, tendremos:

X=3x x-3x=0 x(1-3)=0 x=0

Punto de intersección es ( 0 , 0 )

Igualando la primera y tercera ecuación, tendremos:

Y + y = 4 2 y = 4 y = 4 / 2 y = 2

Punto de intersección es ( 2 , 2 )

Igualando la segunda y tercera ecuación, tendremos:

X + 3 x = 4 4 x = 4 x = 4 / 4 x = 1

Punto de intersección es ( 1 , 3 )

A=∫_0^1▒(3x-x)dx+∫_1^2▒〖(4-x-x)dx=〗 ∫_0^1▒(2x) dx+∫_1^2▒(4-2x)dx=2∫_0^1▒xdx+∫_1^2▒4dx-2∫_1^2▒xdx=2[x^2/2] ■(1@0)+4[x] ■(2@1)-2[x^2/2] ■(2@1)=2[(1^2-0^2)/2]+4[2-1]-2[(2^2-1^2)/2]=2[1/2]+4[1]-2[(4-1)/2]=1+4-3=2 u^2

4.- y=1/x ; y=1/x^2 ; x=2

Igualando las dos ecuaciones encontramos el punto de intersección, teniendo:

1/x=1/x^2

Multiplicando cruzado, tendremos:

x^2=x

Despejando tendremos:

x^2-x=0

Factorizando:

(x)(x-1)=0

Encontramos dos valores para x:

X=0 y x=1

El valor que tomaremos es x=1 por que el x=0 nos hace infinita la función.

Sustituyendo x=1 en cualquiera de las ecuaciones tendremos:

Y=1, Por lo que el punto de intersección será:

P( 1 , 1 )

A=∫_1^2▒(1/x-1/x^2 )dx=∫_1^2▒〖dx/x-〗 ∫_1^2▒〖dx/x^2 =〗 ∫_1^2▒〖dx/x-〗 ∫_1^2▒x^(-2) dx=[lnx] ■(2@1)-[(-1)/x] ■(2@1)=(ln2-ln1)+(1/2-1/1)=0.69314-0+0.5-1=0.19314 u^2

5.- y=4x^2 ; y=x^2+3

Igualando las dos ecuaciones:

4x^2=x^2+3

4x^2-x^2=3

〖3x〗^2=3

x^2=1

x=+1

x=-1

P(1,4)

...