FUNDAMENTOS DE ALGEBRA

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA UNIDAD CULHUACAN

REPRESENTACION DEL NUMERO COMPLEJO

FUNDAMENTOS DE ALGEBRA

Profr: Dr. Pedro Alfaro Calderón

Grupo: 1EV6

Objetivo.

El alumno investigara y explicara algunos conceptos sobre la repesentación del numero complejo.

Justificación.

El motivo de esta investigación es que el alumno entiendo lo que es la representación del número complejo así mismo como ejemplos y algunas aplicasiones.

Introducción

El término número complejo describe la suma de un número real y un número imaginario . Los números complejos se utilizan en todos los campos de las matemáticas, en muchos de la física y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.

REPRESENTACIÓN DEL NÚMERO COMPLEJO

Definición de número complejo

Ahora que sabemos trabajar con los números complejos y las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división, vamos a introducirnos en la representación de dichos números en el plano complejo. Para los números reales, dibujábamos una recta y los íbamos colocando ordenadamente, es decir:

Para representar gráficamente un número complejo, debemos dibujarlos en el plano complejo. Éste está formado por un eje real y un eje imaginario. Sobre el eje real representaremos la parte real del número complejo, mientras que en el eje imaginario representaremos la parte imaginaria. Dichos ejes los dibujaremos perpendiculares y secantes en el cero, que tiene parte real e imaginaria nula.

Ejemplo

Veamos un ejemplo del plano complejo:

Un número complejo z en forma binómica se representará entonces en un plano complejo como el anterior de la siguiente forma:

Tenemos el complejo z=a+bi donde:

a es cualquier número real, y se le llama parte real de z.

b es cualquier número real, y se le llama la parte imaginaria de z.

Así, para representar un z=a+bi se dibuja en el plano el vector asociado a z que es el vector con origen (0,0) y extremo el punto (a,b).

Es decir, se toma la parte real del complejo y se dibuja en el eje real. Se toma la parte imaginaria y se dibuja en el eje imaginario. Se trazan paralelas a los ejes que pasen por cada uno de los puntos marcados y la intersección de dichas paralelas es el número que queríamos representar.

Ejemplo

Por ejemplo, si queremos representar el imaginario z=2−i.

Primero marcamos en el eje real el 2.

Luego marcamos en el eje imaginario el −i.

Trazamos dos rectas:

una paralela al eje real que pase por el punto −i.

una paralela al eje imaginario que pase por el punto 2.

El punto intersección de estas dos rectas es el número z que queríamos dibujar.

Gráficamente es:

En definitiva lo que estamos haciendo es que a cada número complejo que viene dado por la forma z=a+bi le asociamos un vector en el plano que es exactamente el vector (a,b).

La representación geométrica de un número real es un único punto en una línea recta continua infinitamente larga, esta línea recta tiene establecida una unidad que es la distancia entre puntos consecutivos que representan a los llamados números enteros. Un número complejo es más general que esto.

Un número complejo es un par ordenado de dos números reales (a, b), de manera análoga una variable compleja es un par ordenado de dos variables reales.

z = (x, y)

El orden es importante, ya que en general (a, b) ≠ (b, a). Normalmente un número real (x, 0) es escrito solo como x, y la unidad imaginaria i = (0, 1) solo es escrita como i, la cual tiene la propiedad que i² = −1.

Si definimos a z = (a, b) a, a se le denomina parte real y se denota

...