Filtros Adaptativos en Tiempo Discreto

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UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR

DEPARTAMENTO DE ELECTRÓNICA Y CIRCUITOS

EC- 7462 PROCESAMIENTO DISCRETO DE SEÑALES III

TRIMESTRE Septiembre-Diciembre

Filtros adaptivos en tiempo discreto

Estudiante: Erislandy Mozo Bigñotte.

Profesor: Germán González.

        Noviembre, 2014        

INTRODUCCION

Un filtro adaptivo es una estructura con un número finito de parámetros internos los que pueden ser utilizados para controlar la función de transferencia sobre un rango de utilidad. Existen diferentes maneras de construir un filtro con una función de transferencia dependiente de un número finitos de parámetros, entiéndase por estructura del filtro la forma particular en que éste se realiza. Los filtros adaptivos poseen un algoritmo de adaptación el cual permite que la función de transferencia de dichos filtros varíe de forma apropiada en dependencia de las condiciones externas. Específicamente el algoritmo adaptivo monitorea la influencia externa sobre el filtro y controla la función de transferencia de este variando los parámetros internos [1].

Los filtros adaptivos, ignorando los posibles efectos de precisión finita, usualmente son lineales. No obstante, debido a su naturaleza, los filtros adaptivos son sistemas variantes en el tiempo. A pesar de esto la mayoría de los algoritmos adaptivos cambian los parámetros lentamente y la mayoría de la influencia externas varía de forma más rápida. El término “lento” es relativo y se utiliza cómo punto de comparación con las componentes de alta frecuencia de la señal que se está filtrando. De esta forma una representación adecuada de un filtro adaptivo es mediante un sistema lineal variante en el tiempo caracterizado por una función de transferencia que varía lentamente en el transcurso del tiempo [1].  

Estos tipos de filtros son de amplia utilidad en caso de que no se conozcan las características exteriores y para el caso de que se tengan señales cambiantes en el tiempo. Además es común  utilizar los filtros adaptivos para ambientes que no varían (caso estacionario) o con variaciones lentas. Un ejemplo de aplicación de los filtros adaptativos es la cancelación adaptativa de ruido, codificación de la forma de onda de la señal de voz   mediante ADPCM ect.

En este proyecto de fin de curso se implementan en Matlab los algoritmos de filtros adaptativos vistos en la materia de Procesamiento Digital de Señales III, tales como el LMS, SGL, Fast Kalman y RLS Lattice. En el mismo se analizan  los diferentes parámetros y características de estos algoritmos tales como la velocidad de convergencia, flexibilidad computacional entre otros.

DESAROLLO: 

La estructura más conveniente para la realización de los filtros adaptivos, y una de las más comunes son los filtros de respuesta a impulso finita (FIR). Estos filtros pueden representarse mediante la siguiente ecuación en diferencia:

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Con una función de transferencia,

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Existen muchas estructuras mediante las cuales se puede implementar un filtro FIR, las más utilizadas son la transversal y Lattice. La primera de esta es la implementación directa de la función de transferencia mediante la utilización de multiplicaciones, demoras y sumas algebraicas. La estructura Lattice es equivalente a la primera, en el sentido de que cualquier función de transferencia representada mediante la estructura transversal puede representarse mediante una constante multiplicativa propia de la estructura Lattice. La utilidad de estas estructuras radica en que tienen una relación analítica sencilla y de fácil manejo entre la función de transferencia y los parámetros de los filtros. Para el caso de la estructura Lattice esta relación no lineal es más complicada que la de la estructura transversal, pero a pesar de esto posee una representación recursiva de mucha utilidad en alguno de los algoritmos adaptivos [1].

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1. Filtro Transversal.

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1. Filtro Lattice.

Fig. Principales estructuras utilizadas en los filtros adaptivos.

Luego de la elección de la estructura a emplear se debe elegir el algoritmo que será utilizado en el filtro adaptivo. Existen varias alternativas disponibles con diferentes niveles de complejidad en dependencia del desempeño. El desempeño de los algoritmos adaptivos se pueden caracterizar por diferentes medidas, las más utilizadas son la velocidad de adaptación y la exactitud de la función de transferencia. Existe un compromiso entre estas medidas de calidad, en algunos algoritmos adaptivos que pueden mejorarse en detrimento de la otra, lo que debe tenerse  en cuenta con especial interés [2].

Los algoritmos adaptivos se pueden clasifican en dos tipos: en bloques  y recursivos. En el primer tipo de algoritmos, la señal se segmenta en bloques de tiempo los que son procesados independientemente; es común que los bloques adyacentes tengan algún nivel de solapamiento. Para cada bloque se determinan los parámetros óptimos de los filtros mediante diferentes operaciones matriciales.  Para el caso de los algoritmos recursivos los parámetros de los filtros se generan de forma continua para cada muestra de entrada al sistema. Una diferencia notable entre ambos tipos de algoritmos, al menos de forma teórica,  es la cantidad de memoria que se requiere para su implementación. En el caso de los algoritmos en bloque se requiere memoria finita mientras que para los recursivos se requiere memoria infinita aunque en estos últimos pueden tener memoria finita. Los algoritmos en bloques son ampliamente utilizados en el procesamiento de voz, donde la estadística de la señal varía rápidamente. Por otro lado en ambientes que varían lentamente o son estacionarios, tanto los algoritmos recursivos como los de bloque pueden  realizar estimaciones muy precisas [1].

Implementación del Algoritmo Adaptativo:

Los algoritmos adaptativos analizados en clases y que se implementaran en este trabajo son:

• LMS (Least Mean Square): Es muy popular y  ampliamente utilizado debido a su simplicidad y desempeño aceptable para muchas aplicaciones. El filtro LMS es simplemente un filtro transversal adaptivo, el cual realiza su adaptación utilizando un algoritmo de gradiente estocástico (SG), el cual es una aproximación a la solución MMSE de gradiente [1]. Su ecuación de diseño es:

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Donde   es una constante de adaptación pequeña que controla los cambios de , vector de coeficientes.[pic 7][pic 8]

• SGL (Stochastic Gradient Lattice): El algoritmo minimiza el error a la salida de la etapa que es equivalente a  minimizar el error a la salida de cada una de las etapas de menor orden con respecto a los correspondientes coeficientes óptimos en cada una de estas [2]. El mismo permite obtener recursivamente los valores de los coeficientes del filtro cómo:[pic 9]

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• Fast Kalman: Es una variante del algoritmo LS recursivo en una estructura Transversal, el cual se obtiene por la combinación de un conjunto de ecuaciones recursivas en tiempo, siendo muy eficiente computacionalmente, requiere de  multiplicaciones y  adiciones por iteración siendo   el orden del filtro [1]. En este se propagan los vectores f, b y g.[pic 12][pic 13][pic 14]

• RLS Lattice: Es una variante del algoritmo LS recursivo en una estructura Lattice, el cual se obtiene por la combinación de un conjunto de ecuaciones recursivas en tiempo y orden, siendo muy eficiente computacionalmente, requiere de  multiplicaciones y  adiciones por iteración.[pic 15][pic 16]

Estos algoritmos son utilizados en disimiles de aplicaciones y estructuras. En este trabajo se utiliza el esquema de la figura 1, para verificar la capacidad que tienen los coeficientes del  filtro adaptativo de seguir las variaciones de los coeficientes del filtro IIR. A dicho esquema le entra una señal de ruido blanco Gaussiano, la cual es filtrada con un filtro IIR de orden n, luego este ruido coloreado (señal estacionaria) es aplicada a un filtro adaptivo, utilizando uno de los algoritmo de adaptación visto anteriormente.

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