Definición de series

INDICE

Introducción

Desarrollo

definición de series

Ejemplos

Series finitas

Ejemplos

series infinitas

Ejemplos

Series numéricas y convergencia

Ejemplos

Series de potencia

Ejemplos

Radio de convergencia

Ejemplos

Series de Taylor y cálculo de integrales

Ejemplos

Representación de funciones

Ejemplos

Calculo de integrales

Ejemplos

Conclusión

Bibliografía

INTRODUCCION GENERAL

4.1 DEFINICION DE SERIES

Una serie aritmética es la suma de una sucesión de términos.

Por ejemplo, una serie interesante que aparece en muchos problemas en ciencia, ingeniería, y matemática es la serie geométrica r + r2 + r3 + r4 +... donde ... indica que la serie continúa indefinidamente.

Donde n es el número de términos, a1 es el primer término y r es la relación común.

EJEMPLOS

4.1.1 SERIES FINITAS

En matemáticas, una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos an como donde n es el índice final de la serie. Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir, .

Las series finitas son las que constan de un determinado, o finito número de términos, cuya suma extrae exactamente el valor de una cantidad.

EJEMPLOS

Ejemplo 1

Sea f la función definida por f(x)= 2m; m" { 1,2,3,4}

f(1)= 2x1=2 f(2)= 2x2=4 f(3)= 2x3=6 f(4)= 2x4=8

(2,4,6,8)

f(x)= 2m; m" { 1,2,3,4} es una serie finita donde m pertenece a cualquier numero del intervalo [1, 4]

Ejemplo 2

Sea f la función definida por f(x)= 4m; m" { 1,2,3,4}

f(1)= 4x1=4 f(2)= 4x2=8 f(3)= 4x3=12 f(4)= 4x4=16

(4, 8, 12, 16)

f(x)= 4m; m" { 1,2,3,4} es una serie finita donde m pertenece a cualquier numero del intervalo [1, 4]

4.1.2 SERIES INFINITAS

Haciendo la división, que indica esta expresión a+b / a2 – ½ b, el cociente tendrá muchos términos separados unos de otros con dichos signos, por consiguiente será una serie. Si prosiguiendo la división siempre hubiese un residuo que dividir, es decir, que no exista un elemento que al multiplicarlo por divisor no haya resta que realizar, el cociente que saldría sería una serie infinita, o que jamás se acabaría, por lo tanto jamás se podría llegar a una expresión del todo exacta, de la fracción, o del cociente.

Si U_n es una sucesión y s_n=u_1+u_2+u_3+⋯+u_n

Entonces S_n es una sucesión de sumas parciales denominada serie infinita y se denota por ∑_(n-1)^(+∞)▒〖u_n=〗 u_1+u_2+u_3+⋯+u_n+⋯

Los números u_1+u_2+u_3+⋯+u_n+⋯ son los términos de la serie infinita.

EJEMPLOS

Ejemplo 1

Ejemplo 2

4.2 SERIES NUMÉRICAS Y CONVERGENCIA

La serie armonica es la serie

La serie armónica es divergente

Una serie añternada es una serie donde los términos alternan el signo. Ejemplo:

Una serie telescópica es la suma donde an = bn − bn+1. Se representa de la siguiente manera:

La convergencia de dicha serie y su suma se pueden calcular fácilmente, ya que:

Una serie hipergeometrica es una serie de la forma que cumple que

=

Criterios de convergencia

Clasificar una serie es determinar si converge a un número real o si diverge ( u oscilante). Para esto existen distintos criterios que, aplicados a la serie en cuestión, mostrarán de qué tipo es (convergente o divergente).

Condición del resto

Para que una serie sea divergente, una condición suficiente es que

Esta afirmación es muy útil, ya que nos ahorra trabajo en los criterios cuando el límite es distinto de cero.

Criterio de D'Alembert o Criterio del Cociente (Criterio de la razón)

tal que ak > 0 ( serie de términos positivos).

Si existe

el Criterio de D'Alembert establece que:

• Si L < 1, la serie converge.

• Si L > 1, entonces la serie diverge.

• Si L = 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie.

Lo primero que miraremos cuando nos encontremos con una serie es si la ‘suma infinita’ tiene sentido:

La serie converge si lo hace su sucesion de sumas parciales; otra cosa distinta es que converja su termino general.

De la definición y de las conocidas propiedades de los límites de sucesiones se deduce inmediatamente que si suprimimos, cambiamos o añadimos un numero finito de términos al principio de una serie, no se altera su carácter de convergencia o divergencia (aunque si el valor de su suma, si converge), porque las nuevas sumas parciales diferirán de la inicial solo en un constante. Por eso, cuando estemos hablando simplemente de convergencia podremos no escribir el n en que empezamos a sumar; incluso escribiremos solo “sigma” (no olvidando que son infinitos términos).

...