Evidencias De Aprendizaje

Actividad 3. Derivación de orden superior e implícita

Instrucciones: Determina la derivada de las funciones implícitas y de orden superior, además de realizar las demostraciones de las funciones presentadas.

Calcula las siguientes derivadas de funciones implícitas, suponiendo que depende de .

.

Derivando respectivamente

d/dx 〖sen〗^2 (xy)+d/dx xy^2=d/dx x^3+1

Utilizando la regla de la cadena para

d/dx 〖sen〗^2 (xy)=〖du〗^2/du du/dx

Siendo u=senx d/du(u^2)=2u

Entonces d/dx 〖sen〗^2 (xy)=2(d/dx (sen(xy) )senxy

Ahora utilizando la regla de la cadena para

d/dx (sen(xy) )=dsenu/dx du/dx

Siendo u=xy d/du senu=cosu

Entonces d/dx (sen(xy) )=cosxy(d/dx xy)2senxy=2cosxy(d/dx xy)senxy

Ahora aplicando regla del producto y queda

d/dx uv=d/dx xy=vu´+uv´ u=x v=y

d/dx (sen(xy) )=x(d/dx y)+y(d/dx x)2cosxysenxy=2cosxysenxy(y´(x)x+(d/dx x)y)

=2cosxysenxy(y+xy´(x))

Utilizando regla del producto para

d/dx xy^2=d/dx uv=vu´+uv´

Siendo u=x v=y^2

Entonces

d/dx xy^2=x(d/dx y^2 )+y^2 (d/dx x)=x(d/dx y^2 )+(d/dx x) y^2

Por Regla de la cadena

Siendo

d/dx y^2=〖du〗^2/du du/dx

Con u=y d/du u^2=2u

Entonces

d/dx xy^2=2y(d/dx y)x+(d/dx x) y^2

La derivada d/dx y=y´(x)

Entonces

d/dx xy^2=y´(x)2xy+(d/dx x) y^2=2xyy´(x)+(d/dx x) y^2=y^2+2xyy´(x)

Ahora buscando

d/dx x^3+1=3x^2

En nuestra ecuación implícita original

d/dx 〖sen〗^2 (xy)+d/dx xy^2=d/dx x^3+1

Sustituimos valores

2cosxysenxy(y+xy´(x) )+y^2+2xyy´(x)=3x^2

Acomodando

y^2+2xyy´(x)+2cosxysenxy(y+xy´(x) )=3x^2

Realizando operaciones

(2cosxysenxy)y+y^2+2xcosxysenxyy´(x)+2xyy´(x)=3x^2

Despejando 2ysenxycosxy+y^2 al lado contario

2xcosxysenxyy´(x)+2xyy´(x)=3x^2-(2cosxysenxy)y-y^2

En el lado izquierdo colecta los términos con y´(x)

(2xcosxysenxy+2xy)y´(x)=3x^2-(2cosxysenxy)y-y^2

Finalmente realizando operaciones queda

y´(x)=(3x^2-(2cosxysenxy)y-y^2)/((2xcosxysenxy+2xy) )

y´(x)=(3x^2-ysen(2xy)-y^2)/x(sen(2xy)+2y)

.

Derivando término por término en la ecuación implícita

d/dx √(x+x^2 y )+d/dx e^xy=d/dx In(x+y)

Utilizando regla de la cadena

d/dx e^xy=(de^u)/du du/dx u=x d/du e^u=e^u

d/dx e^xy=e^xy d/dx xy

Utilizando regla del producto para

d/dx xy=d/dx uv=vu´+uv´ u=x v=y

Luego realizando derivadas correspondientes queda y operaciones se sigue que

d/dx e^xy=x d/dx y+d/dx xye^xy=e^xy (y´(x)x+(d/dx x)y)=e^xy (y+xy´(x))

Ahora ocupando regla de la cadena para

d/dx √(x+x^2 y )=(d√u)/du du/dx u=x^2 y+x d/du √u=1/(2√u)

d/dx √(x+x^2 y )=(1+2xy+x^2 y´(x))/(2√(x+x^2 y ))

Para el siguiente ocupando regla de la cadena

d/dx In(x+y)=dIn(u)/du du/dx u=x+y d/du Inu=1/u

d/dx In(x+y)=(d/dx(x+y))/(x+y)=(d/dx x+d/dx y)/(x+y)=(1+d/dx y)/(x+y)=(1+y´(x))/(x+y)

En nuestra ecuación implícita original

d/dx √(x+x^2 y )+d/dx e^xy=d/dx In(x+y)

Sustituimos valores

(1+2xy+x^2 y´(x))/(2√(x+x^2 y ))+e^xy (y+xy´(x) )=(1+y´(x))/(x+y)

Realizando operaciones correspondientes

e^xy+1/(2√(x+x^2 y ))+xy/√(x+x^2 y )+e^xy (y+xy´(x) )+(x^2 y´(x))/(2√(x+x^2 y ))=1/(x+y)+(y´(x))/(x+y)

Luego resta (y´(x))/(x+y) en ambos lados

e^xy+1/(2√(x+x^2 y ))+xy/√(x+x^2 y )+e^xy (y+xy´(x) )+(x^2 y´(x))/(2√(x+x^2 y ))

-(y´(x))/(x+y)=1/(x+y)+(y´(x))/(x+y)-(y´(x))/(x+y)

e^xy+1/(2√(x+x^2 y ))+xy/√(x+x^2 y )+e^xy (y+xy´(x) )+(x^2 y´(x))/(2√(x+x^2 y ))-(y´(x))/(x+y)=1/(x+y)

Pasa consigno contrario y al lado contrario xy/√(x+x^2 y )+1/(2√(x+x^2 y ))+ye^xy y queda

e^xy xy´(x)-(y´(x))/(x+y)+(x^2 y´(x))/(2√(x+x^2 y ))=-(e^xy xy)+1/(x+y)-1/(2√(x+x^2 y ))-xy/√(x+x^2 y )

Colecciona los términos del lado izquierdo para y´(x)

(e^xy x-1/(x+y)+x^2/(2√(x+x^2 y )))y´(x)=-(e^xy xy)+1/(x+y)-1/(2√(x+x^2 y ))-xy/√(x+x^2 y )

Despejando y´(x) queda finalmente

y´(x)=(-(e^xy xy)+1/(x+y)-1/(2√(x+x^2 y ))-xy/√(x+x^2 y ))/(e^xy x-1/(x+y)+x^2/(2√(x+x^2 y )))

y´(x)=(y(-xy/√(x+x^2 y )-(e^xy ) )-1/(2√(x+x^2 y ))+1/(x+y))/(x^2/(2√(x+x^2 y )) 〖+xe〗^xy-1/(x+y))

y´(x)=(y(-xy/√(x(xy+1) )-(e^xy ) )-1/(2√(x(xy+1) ))+1/(x+y))/(x^2/(2√(x(xy+1) )) 〖+xe〗^xy-1/(x+y))

.

Derivando la ecuación implícita termino a término

d/dx In(x/y)+d/dx 〖sen〗^2 (x+y^2 )=d/dx 2x^2 y

Derivando primero para y recordando una propiedad logarítmica para aplicarle la derivada In(x/y)=Inx-Iny

Entonces

d/dx In(x/y)=d/dx Inx-Iny=d/dx Inx d/dx Iny

Simplificando y recordando f(x)=In x → f´(x)=1/x

Entonces

d/dx In(x/y)=-(d/dx Iny)+1/x

Aplicando regla de la cadena para

(d/dx Iny)=(dInu )/du du/dx u=y d/du In u=1/u

Por tanto

d/dx In(x/y)=1/x-(d/dx y)/y=1/x-(y´(x))/y

Aplicando la regla de la cadena para

d/dx 〖sen〗^2 (x+y^2 )=(du^2)/du du/dx u=〖sen〗^2 (x+y^2 ) d/(du^2 ) (u^2 )=2u

d/dx 〖sen〗^2 (x+y^2 )=2 d/dx(sen(x+y^2 ))sen(x+y^2 )

Aplicando regla de la cadena

d/dx (sen(x+y^2 ) )=dsenu/du du/dx u=x+y^2 d/du senu=cosu

Entonces

d/dx 〖sen〗^2 (x+y^2 )=cos(x+y^2 ) d/dx (x+y^2 )2sen(x+y^2 )

d/dx 〖sen〗^2 (x+y^2 )=d/dx x+d/dx y^2 2cos(x+y^2 )sen(x+y^2 )

Considerando d/dx x=1 Por regla de la cadena

d/dx y^2=(du^2)/du dy/dx u=y d/du u^2=2u

Entonces

d/dx 〖sen〗^2 (x+y^2 )=2cos(x+y^2 )sen(x+y^2 )(1+2 d/dx y y)

Considérese que d/dx y=y´(x)

d/dx 〖sen〗^2 (x+y^2 )=2cos(x+y^2 )sen(x+y^2 )(1+2 yy´(x))

Ahora consideremos a derivar

d/dx 2x^2 y=2 d/dx(x^2 y)

Aplicando la regla del producto para

d/dx (x^2 y)=d/dx uv=v du/dx+u dv/dx u=x^2 v=y

d/dx (x^2 y)=x^2 d/dx y+d/dx x^2 y=x^2 y´(x)+2xy=2xy+x^2 y´(x)

Luego

d/dx 2x^2 y=2(2xy+x^2 y´(x))

Derivando la ecuación implícita termino a término

d/dx In(x/y)+d/dx 〖sen〗^2 (x+y^2 )=d/dx 2x^2 y

Sustituyendo en cada valor de la ecuación

1/x-(y´(x))/y+2cos(x+y^2 )sen(x+y^2 )(1+2 yy´(x) )=2(2xy+x^2 y´(x))

Reacomodando los términos y realizando operaciones correspondientes

1/x+2cos(x+y^2 )sen(x+y^2 )-(y´(x))/y+4cos(x+y^2

...