Algebra lineal en grupo

INTRODUCCION

El conjunto generador de manera intuitiva podemos decir que es el espacio generado por un conjunto de vectores es el mínimo subespacio y que tiene a todos las combinaciones lineales de ellos. Geométricamente podemos decir que todos los espacios generados describen mucho de los objetos que se los conoces como rectas y planos, de manera algebraica esto nos servirá mucho para el desarrollo del ensayo, de igual manera, la transformación lineal son todas las funciones que se trabaja en algebra lineal y se trata de funciones entre espacios vectoriales que siempre son compatibles con la estructura de estos espacios.

DESARROLLO

El conjunto generador nos habla que los vectores se forman a otros vectores con su mismo espacio vectorial mediante las combinaciones lineales y todo esto son los conjuntos generadores.

Ejemplo 1:

Si queremos representar vectores 2 x 1 como una combinación lineal de los vectores “i” y “j”

[pic 1]

[pic 2]

[pic 3]

[pic 4]

• Un conjunto generador se representa así V=gen (i,j) lo que significa que el espacio vectorial V es generado por el conjunto de vectores i y j los símbolos () sirven para representar conjuntos.  

Ejemplo 2:

Si queremos representar vectores 2 x 1 como una combinación lineal de los vectores “h” y “k”

[pic 5]

[pic 6]

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[pic 8]

[pic 9]

Ejemplo 3:

Sean v1 = (1,0,1,2), v2= (3,4,2,1) y v3 = (5,8,3,0) vectores en el espacio vectorial R4. ¿El vector v= (1,0,0,0) en el generado de v1 v2 v3? ¿El vector w= (4,4,3,3)?

[pic 10]

Obtenemos que la forma escalonada reducida a la matriz aumentada Av es:

[pic 11]

Procedemos de manera similar para el vector w:

[pic 12]

Si queremos encontrar una combinación lineal explicita tenemos que resolver el sistema:

[pic 13]

Podemos decir que la resolución es w = (1 + x3) v1 + (1 – 2x3) v2 + x3v3

La transformación lineal en algebra se trata de funciones espacios vectoriales que son compatibles en la estructura de estos espacios por lo tanto podríamos decir que es una función.

Ejemplo 1:

Demuestre que la transformación T: R3 → R2 es lineal.  

[pic 14]

Sean u= (x1, y1, z1) y v= (x2, y2, z2). Entonces

[pic 15]

= ((x1+x2) + (z1+z2), (y1+y2) -(z1+z2))

=(x1+z1,y1-z1) + (x2+z2,y2-z2))

= T (u) + T (v)

Por otro lado, la escalar c,

[pic 16]

[pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

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Se cumplen las condiciones:

[pic 21]

[pic 22]

Ejemplo 2:

Determine si la transformación dada V en W es lineal

[pic 23]

[pic 24]

Comprobamos la primera propiedad: T ( u +v ) = Tu  + Tv sea el vector  u=(u1, u2) y v=(v1,v2)  y esto quedaría =u+v = (u1 + v1, u2 + v2)

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