Calculo De Derivadas

CÁLCULO DE DERIVADAS (II)

Derivada de un cociente de funciones

Considérense, como en los casos precedentes, dos funciones f y g definidas y derivables en un punto x. Además, en este caso, se tiene que imponer la condición de que la función g no se anule en x.

Si en la segunda fracción se suma y se resta al numerador f(x) • g(x), se obtiene:

Sacando factor común g(x) en los dos primeros sumandos de la segunda fracción, y f(x) en los dos últimos,

Por último, se toman límites cuando h tiende a cero notando que:

En definitiva,

Ejercicio: cálculo de derivadas

Resolución:

Derivada de la función tg x

si f(x) = sen x, f ' (x) = cos x

si g(x) = cos x, g ' (x) = - sen x

Aplicando la fórmula de la derivada de un cociente,

Por tanto,

Derivada de la función sec x

Si f(x) = 1, f ' (x) = 0

Si g(x) = cos x, g ' (x) = - sen x

Por la fórmula de la derivada de un cociente,

(sec x)' = sec x • tg x

Derivada de la función cosec x

Si f(x) = 1, f ' (x) = 0

Si g(x) = sen x, g ' (x) = cos x

Por la derivada de un cociente,

(cosec x)' = - cosec x • cotg x

Derivada de la función cotg x

Si f(x) = cos x, f ' (x) = - sen x

Si g(x) = sen x, g ' (x) = cos x

Por tanto,

Ejercicio: cálculo de derivadas

Resolución:

Llamando f(x) = x cos x - 2,

f ' (x) = 1 • cos x + x • (- sen x) = cos x - x sen x

(la derivada de 2 es cero por ser una constante)

Si g(x) = x2, g ' (x) = 2 x

Resolución:

Si f(x) = x tg x - cos x,

f ' (x) = 1 • tg x + x (1 + tg2x) - (- sen x) = = tg x + x (1 + tg2x) + sen x

A pesar de contar ya con un número estimable de propiedades para el cálculo de derivadas, hay funciones elementales, como , para las que no se conoce ningún procedimiento para la obtención de su derivada. Para seguir avanzando por este camino se hace imprescindible conocer una de las propiedades más fundamentales y útiles de la derivación, aunque no se hará su demostración. Se la conoce como derivada de una función compuesta o regla de la cadena.

REGLA DE LA CADENA

Esta propiedad asegura que si y = f(x) es una función derivable en un cierto intervalo I,

y z = g(y) es otra función derivable y definida en otro intervalo que contiene a todos los valores (imágenes) de la función f,

entonces la función compuesta

definida por (g o f) (x) = g[f(x)], es derivable en todo punto x de I y se obtiene

Ejemplo: cálculo de derivadas

Calcular la derivada de la función h(x) = sen x2.

Resolución:

La función sen x2 es una función compuesta de otras dos f(x) = x2 y g(x) = sen x.

Al ser g(x) = sen x, g ' (x) = cos x,

por tanto g ' [ f(x) ] = cos f(x) = cos x2

Por la regla de la cadena,

h ' (x) = g ' [ f(x) ] • f ' (x) = 2x cos x2

Resolución:

De g(x) = x3, se deduce

g ' (x) = 3x2. En consecuencia,

Por la regla de la cadena,

Regla de la cadena para la función potencial

Se sabe que la derivada de una función f(x) = xm es f'(x) = m • xm - 1.

Si en lugar de x se tuviese una función u(x), la derivada de u(x)m

aplicando la regla de la cadena, será: [u(x)m] ' = m • u(x)m - 1 • u'(x)

Para simplificar la notación, y a partir de ahora, se escribirá simplemente u en lugar de u(x).

Así,

Ejercicio: cálculo de derivadas

Calcular la derivada de f(x) = (x2 + 1)3.

Resolución:

Si u = x2 + 1, u' = 2x

En este caso m = 3

f '(x) = 3 (x2 + 1)2 • 2x = 6x (x2 + 1)2

Regla de la cadena para la función logaritmo neperiano

Si en la derivada de logaritmo neperiano se sustituye x por una función de x, u(x), en virtud de la regla de la cadena se tiene que

Ejercicio: cálculo de derivadas

Resolución:

Se calcula u' aplicando la derivada de un cociente:

Se aplica la regla de la cadena:

2.- Hallar la derivada de f(x) = ln |sen x |

Resolución:

u = sen x; u' = cos x

Regla de la cadena para las funciones exponenciales

Si en lugar de x se tuviese una función u(x), por la regla de la cadena se tiene que para una

función f(x) = au y para otra g(x) = eu,

f'(x) = (au ) ' = u' • au • ln a

g'(x) = (eu ) ' = u' • eu

Ejercicio: cálculo de derivadas

1 Calcular la derivada de f(x) = 4x sen x

Resolución:

Llamando u = x • sen

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