Guía lógica Y Razonamiento Matematico
Enviado por 1143899 • 4 de Diciembre de 2012 • 1.804 Palabras (8 Páginas) • 683 Visitas
CONJUNTOS
Un conjunto es una colección de objetos llamados elementos.
Ejemplos:
El conjunto de los colores primarias – rojo, verde, azul (RGB) – finito y fácil de determinar.
El conjunto de los colores que maneja el computador, finito y muy grande.
El conjunto de todos los colores por frecuencia, infinito y fácil de determinar.
El conjunto de todos los colores, con respecto a los anteriores ítems no está muy bien determinado porque no se especifica cómo está determinado el color. Ambiguo.
El conjunto de todas la frutas. Finito.
El conjunto de las frutas más deliciosas. Ambiguo
El conjunto de los números primos. Infinito y difícil de determinar.
Ejemplos matemáticos para conjuntos
El conjunto de los números enteros positivos menores que diez. Finito y fácil de determinar.
El conjunto de los números enteros pares positivos. Infinito y fácil de determinar.
El conjunto de los números naturales. Infinito y fácil de determinar.
El conjunto de los números de la suerte. Ambiguo.
Anotación:
Los conjuntos se escriben generalmente con letras mayúsculas.
Los elementos generalmente se escriben con letras minúsculas.
No se deben repetir elementos.
Guía elaborada por Luis Fernando Gómez
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No importa el orden.
Pertenencia (ϵ)
Un elemento pertenece al conjunto si ese elemento se encuentra en el conjunto
Notación: (se lee x pertenece a A) y (se lee x no pertenece a A)
Nombramiento de conjuntos
Comprensión: Escribiendo la propiedad
Extensión: Escribiendo cada uno de ellos o haciendo notar la propiedad.
Ejemplo:
Números pares menores o iguales a 10. { } { | } { | } { | }
Ejercicio: Escribir de cuatro manera diferentes el conjunto de los números impares mayores que 10 y menores que 25.
Conjuntos especiales
Naturales: { }
Enteros positivos: { }
Enteros: { }
Racionales: { ⁄| }
Irracionales: . Todo numero que no es periódico o no tiene forma fraccionaria.
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Reales:
Complejos: { | }
Universal:
Vacio: , {}
Subconjuntos
si todos los elementos de A pertenecen al conjunto B
si A no es un subconjunto de B
si y solamente si y
Ejemplo:
Si { }, { } y { }
Entonces: ,
Propiedades:
a. . Todo conjunto es subconjunto de sí mismo.
b. . El conjunto vacio es subconjunto de cualquier conjunto.
c. . Cualquier conjunto es subconjunto del Universal.
Potencia de A ( P(A) )
Es el conjunto de todos los conjuntos. | | , donde n es el número de elementos del conjunto A.
Ejemplo: si { } entonces { { } { } { } { } { } { } { }}. Note que los elementos de P(A) es 2n=23= 8 elementos.
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Diagramas de Venn
John Venn Euler (1834-1923): Matemático y filosofó británico. Los diagramas de Venn son usados en conjuntos, probabilidad, lógica, estadística y ciencias de la computación. Los diagramas los dio a conocer en 1880.
Los conjuntos se simbolizan con óvalos y el universal con una caja rectangular.
En general tenemos los siguientes diagramas para dos y tres conjuntos:
OPERACIONES DE CONJUNTOS
Unión: todos los elementos de A mas todos los elementos de B, sin repetir los comunes. { | }
Intersección: todos los elementos comunes entre los conjuntos. { | }
Distribución entre intersección y unión:
A
B
A
B
C
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Diferencia: Son los elementos de A que no estén en B o son los elementos de A quitando los de B o también son los elementos de A quitando la intersección entre A y B. { | }
En la práctica es exactamente:
También se puede hallar como:
Diferencia simétrica: Son los elementos de A mas los de B quitando su intersección. { | }
Complemento: son los elementos que le faltan para ser igual al universal y se denota como . Por lo tanto se puede escribir como una diferencia o sea :
Complemento:
Propiedades:
El complemento del complemento de un conjunto es el mismo conjunto.
La unión de un conjunto con su complemento es el Universal.
La intersección de un conjunto con su complemento es vacía.
El complemento del Universal se denota como el conjunto vacio.
El complemento del conjunto vacio se denota como el Universal.
Ley de Morgan:(Augustus de Morgan)
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Demostremos que , por la definición de igualdad entre conjuntos.
Primero hay que demostrar .
Sea
Segundo hay que demostrar .
Sea
Ejercicios en clase:
1. Dados los siguientes conjuntos:
{ | } { } { | } { } { }
Obtener:
a.
b.
c.
d. [ ]
2. Hacer el diagrama de Venn que cumple con:
, , , , ,
3. Hacer los diagramas de Venn para dos conjuntos de:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
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4. Hacer los diagramas de Venn para tres conjuntos de:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j. [ ]
5. Que operaciones se necesitan para generar los siguientes diagramas
a.
b.
c.
6. Demostrar que:
a.
b.
c.
d.
e.
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APLICACIONES EN CONJUNTOS FINITOS
Se tiene un enunciado y se debe interpretar para crear correctamente el diagrama de Venn y a partir de ese diagrama se responden algunas preguntas relacionadas con el enunciado. Normalmente es difícil responder algunas preguntas solamente leyendo el enunciado por eso se pide dibujar primero el diagrama de Venn.
Con la siguiente formula podemos resolver problemas sencillos. Sea | | la cantidad de elementos tiene el conjunto A. Por lo tanto para saber cuántos elementos tiene la unión de dos conjuntos se tiene: | | | | | | | |
Y si son tres conjuntos: | | | | | | | | | | | | | | | |
Ejemplo:
De 34 programas de computadora en C++, 23 marcaron error de compilación, 12
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