Los Fundamentos Matemáticos de los sistemas Digitales
Enviado por unadmed • 14 de Septiembre de 2013 • Ensayo • 1.911 Palabras (8 Páginas) • 579 Visitas
CONTROL DIGITAL
LABORATORIO 1
GRUPO 29006-8
CÓDIGO:
Tutor.
DIEGO FERNANDO SENDOYA LOSADA
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TÉCNICA E INGENIERÍA
INGENIERÍA ELECTRÓNICA
CEAD YOPAL
2011
INTRODUCCIÓN
En el desarrollo de este trabajo se indagara sobre los Fundamentos Matemáticos de los sistemas Digitales como, transformada Z, transformada Z inversa.
Se dará solución a los ejercicios propuestos utilizando herramientas como la investigación en medios tecnológicos y la conceptualización del modulo del curso, apoyados de la herramienta matemática Matlab.
La transformada Z se introduce para evitar las dificultades que presentan los sistemas discretos por la posición de los polos y ceros de su función de transferencia discreta. La variable compleja z es una transformación no lineal de la variable s de La place.
El control de los procesos industriales en forma automática y se conoce con el nombre de automatización.
En el desarrollo de este trabajo colaborativo, se pretende evidenciar el comportamiento de transformada z ante la entrada a diferentes formas de señal, como son el impulso y el escalón unitario. Ya que la teoría de control se ocupa del sistema en su conjunto y se dedica primordialmente al estudio del comportamiento dinámico en estado transitorio.
De igual forma miraremos los contenidos y resultados de la inversa teniendo en cuanta la estabilidad y el muestreo en los diferentes campos.
OBJETIVOS
1. Realizar los cálculos para la solución de los ejercicios planteados.
2. Comprender la utilidad que la matemática tiene en los diferentes dispositivos de la automatización.
3. Mejorar la destreza en el manejo de la transformada z y de igual manera la inversa.
4. Comprender las temáticas tratadas en la unidad 1: Fundamentos Matemáticos de los sistemas Digitales.
5. Aplicar las características de Matlab para resolver problemas de control, Conocer y comprender los conceptos de Transformada Z, Transformada inversa Z, Muestreo y estabilidad en Z y todo lo relacionado con Sistemas de Control en Tiempo Discreto
6. Encontrar la transformada z de una función escalón unitario que está retrasada un período de muestreo y cuatro períodos de muestreo, respectivamente, mediante el teorema de traslación real.
TRABAJO COLABORATIVO 1.
1. Utilice el teorema de traslación real para encontrar la transformada Z de:
a. Una función escalón unitario que está retrasada un período de muestreo.
El teorema de traslación real o de corrimiento nos dice que si multiplicamos Z-n por la transformada Z de la función tiene como efecto un retraso o retardo en la señal n periodos de muestreo, y si multiplicamos la transformada z de una función por Zn tendremos como resultado un avance en n periodos de muestreo.
La transformada Z de la función elemental Escalón unitario es:
Ahora, el teorema de traslación real expresa:
Procedemos a reemplazar en la ecuación:
Código Matlab.
>> syms u
>> f=u^0
f =
1
>> x=ztrans(f)
x =
z/(z - 1)
>> syms z
>> y=z^-1
y =
1/z
>> w=x*y
w =
1/(z - 1)
>> w*(z/z)
ans =
1/(z - 1)
b. Una función escalón unitario que está retrasada cuatro períodos de muestreo.
Reemplazamos y obtenemos:
Teorema de traslación real.
Donde n es cero o el número positivo. Teniendo en cuenta la transformada z de un número escalón es:
Tomando en cuenta que se desplaza un periodo entonces se debe multiplicar por
Por lo tanto la transformada z del unitario que está retrasada un período de muestreo es:
Codigo Matlab.
>> syms u
>> f=u^0
f =
1
>> x=ztrans(f)
x =
z/(z - 1)
>> syms z
>> y=z^-4
y =
1/z^4
>> w=x*y
w =
1/(z^3*(z - 1))
>> w*(z/z)
ans =
1/(z^3*(z - 1))
2. Utilice el teorema del valor inicial para determinar el valor inicial si la transformada Z de x(t) es:
Dada una secuencia causal X[n] se tiene que:
Desarrollando la sumatoria, se tiene que
X[Z]=X[0]+X[1]Z-1+ ... +X[n]Z-n
Se puede observar que cuando Z tiende a infinito, Z-n tiende a cero para todo n, por tanto,
El Teorema del valor inicial indica:
Entonces:
Eliminamos el exponente negativo, pasando de
Efectuamos las operaciones respectivas, reemplazando z por ∞, recordar que toda expresión dividida en ∞ tiende a cero.
= =0
Ahora se comprueba el valor x(0) de x(t). Para esto retomamos la expresión:
Producto de extremos y medios, simplificamos. Luego nos dirigimos a la tabla de transformadas y observamos que esta es la transformada de la función:
Reemplazamos el valor x(0) y obtenemos
...