Hipotesis Para La Proporcion

PRUEBA DE HIPÓTESIS ACERCA DE PROPORCIONES

1. INTRODUCCIÓN

Es el proceso de usar la información de una muestra para describir el estado de una población. Sin embargo es frecuente que usemos la información de una muestra para probar una aceptación o rechazo sobre la población. El rechazo o aceptación se refiere a una hipótesis. El proceso que corrobora si la información de una muestra sostiene o refuta el reclamo se llama prueba de hipótesis.

2. UNA SOLA PROPORCIÓN

Sea una muestra aleatoria de tamaño n escogida de una población Bernoullí B (1, p), donde el parámetro desconocido p es la proporción de éxitos en la población, y sea la estadística,

La proporción de éxitos en la muestra, siendo X el número de éxitos en la muestra

La estadística X tiene distribución exactamente binomial .

2.1. Cuando:

Si n es suficientemente grande , la estadística

Si se supone verdadera la hipótesis nula , entonces, la distribución muestral de X es exactamente binomial , y la de la variable aleatoria

3. LAS REGIONES CRÍTICAS Y LAS REGLAS DE DECISIÓN DE ESTA PRUEBA Z

a) Prueba bilateral: Si la prueba es de contra , la región crítica en los valores de Z es el intervalo:

b) Prueba unilateral cola derecha: Si la prueba es de contra , la región crítica en los valores de Z es el intervalo:

C) Prueba unilateral cola izquierda: Si la prueba es de contra , la región crítica en los valores de Z es el intervalo:

4. ESTADISTICO DE PRUEBA

a. Estadístico para la proporción de una población

b. Estadístico para la proporción de una población conjunta.

5. EJERCICIOS

Ejemplo 1: Un fabricante afirma que el 30% de todos los consumidores prefiere su producto. Con el fin de evaluar esta afirmación se tomó una muestra aleatoria de 400 consumidores y se encontró que 100 de ellos prefieren dicho producto.

¿Es ésta, suficiente evidencia para inferir que el porcentaje de preferencia del producto no es 30%? Utilice el nivel de significación del 1%.

 SOLUCION:

Sea “p” el porcentaje poblacional de preferencia del producto.

a. Hipótesis: contra

b. Nivel de significación  = 0.01.

c. Estadística: Si , es verdadera, y n grande la estadística es:

Que tiene distribución aproximadamente normal N (0,1).

d. Región crítica: Para y una alternativa bilateral, en la distribución de Z se encuentra el valor crítico .

Luego, la región crítica es el intervalo:

e. Cálculo: n  400, x  100,

ES = Error estándar 

f. Decisión: Como , no deberíamos rechazar , y concluimos que el fabricante tiene la razón.

Ejemplo 2: Una empresa está interesada en lanzar un nuevo producto al mercado. Tras realizar una campaña publicitaria, se toma la muestra de 1 000 habitantes, de los cuales, 25 no conocían el producto. A un nivel de significación del 1% ¿apoya el estudio la siguientes hipótesis? Más del 3% de la población no conoce el nuevo producto.

Datos:

n = 1000

x = 25

Donde:

x = ocurrencias

n = observaciones

= proporción de la muestra

= proporción propuesta

Solución:

a = 0,01

H0 es aceptada, ya que z prueba (-0,93) es menor que z tabla (2,326), por lo que no es cierto que más del 3% de la población no conoce el nuevo producto.

Ejemplo3: Se ponen a prueba la enseñanza de la Estadística empleando Excel y Winstats. Para determinar si los estudiantes difieren en términos de estar a favor de la nueva enseñanza se toma una muestra de 20 estudiantes de dos paralelos. De paralelo A 18 están a favor, en tanto que del paralelo B están a favor 14. ¿Es posible concluir con un nivel de significación de 0,05 que los estudiantes que están a favor de la nueva enseñanza de la Estadística es la misma en los dos paralelos?

Datos:

Hipótesis:

Calculando la proporción muestral se obtiene:

Grafica:

Decisión:

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA DIFERENCIA DE PROPORCIONES

1. DIFERENCIA ENTRE PROPORCIONES

Existen variedad de problemas en los que se debe decidir si la diferencia observada entre dos proporciones muéstrales se pueden atribuir a la casualidad o si es indicativo del hecho de que las dos proporciones de la población correspondientes son desiguales. Por ejemplo, se quisiera decidir, tomando en cuenta los datos de una muestra, si una publicidad determinada produciría en realidad una diferencia de respuesta con respecto a otra, ese es una de las muchas interrogantes con que se enfrenta un administrador hoy en día.

Problemas como el antes mencionado se pueden tratar como un problema de contraste de hipótesis del tipo:

En donde son las dos proporciones de poblaciones de la característica analizada. Si se señala con el tamaño de las muestras y como las proporciones obtenidas de las muestras, entonces la variable que se debe emplear para resolver este tipo de problemas es la diferencia de proporciones muéstrales. Es decir, , este planteamiento al igual que en el caso de la media, se reduce a conocer si la diferencia de las proporciones de la muestra es lo suficientemente grande como para suponer que en realidad existe una diferencia entre . El método que se aplicara para demostrar si una diferencia observada entre dos proporciones de las muestras se puede atribuir a la casualidad o si es estadísticamente significativa, se basa en la siguiente teoría: Si son los números de aciertos obtenidos en n1 ensayos de un tipo y n2 de otro,

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