Aplicaciones De Ecuaciones Diferenciales
Enviado por luasino • 31 de Marzo de 2014 • 904 Palabras (4 Páginas) • 4.638 Visitas
PROBLEMAS DE APLICACION DE ECUACIONES DE PRIMER ORDEN
1) Una población bacteriana B se sabe que tiene una tasa de crecimiento proporcional a B misma. Si entre el mediodía y las 2:00 p.m. la población se triplica, ¿a qué tiempo si no se efectúa ningún control, B será 100 veces mayor que el mediodía?
VARIABLE DEPENDIENTE
Bacterias=B
VARIABLE INDEPENDIENTE
Tiempo=t
El crecimiento bacteriano respecto al tiempo, es proporcional a la cantidad de bacterias, y para que se una ecuación, se debe multiplicar por la constante k, que tiene las unidades necesarias para que sea una igualdad.
dB/dt=kB
La ecuación diferencial es separable:
∫▒dB/B=k∫▒dt
y la solución de la ecuación diferencial es:
Ln(B)=Kt+c
Se debe despejar el valor de B, por lo que se hace el siguiente procedimiento:
[Ln(B)=Kt+c]*e
B=e^(Kt+c)
B=〖ce〗^Kt
B(t)=〖ce〗^Kt
Se aplica la condición inicial para obtener c:
T=0 B(0)= Bo
Bo=〖ce〗^(K(0))
y se obtiene que
C= Bo
Se sustituye el valor de c en la ecuación y queda la solución general del problema:
B(t)=〖Boe〗^Kt
Aplicando la condición a la frontera se obtiene que
T=2 B(2)= 3Bo
3Bo=〖Boe〗^K(2)
[3=e^K(2) ]*1^(1/2)
3^(1/2)=e^K
Se sustituye el valor de k en la ecuación y queda la solución particular del problema:
B(t)=〖Bo*3〗^(1/2*t)
Se resuelve el problema con los datos proporcionados y obtenidos:
T=? B(?)= 100Bo
100Bo=〖Bo*3〗^(1/2*t)
100=3^(1/2*t)
Para despejar t se utiliza la función Ln y con esto se elimina exp:
Ln(100)=1/2 t*Ln(3)
Despejando el valor de t:
t=(2*Ln(100))/(Ln(3))
Se obtiene el valor de t
t=8:22 hrs
2) Se observa que cierta bacteria se duplica en 8h . ¿Cuál es la tasa de crecimiento?
VARIABLE DEPENDIENTE
Bacteria=B
VARIABLE INDEPENDIENTE
Tiempo=t
El crecimiento bacteriano respecto al tiempo, es proporcional a la cantidad de bacterias, y para que se una ecuación, se debe multiplicar por la constante k, que tiene las unidades necesarias para que sea una igualdad.
dB/dt=kB
La ecuación diferencial es separable:
∫▒dB/B=k∫▒dt
y la solución de la ecuación diferencial es:
Ln(B)=Kt+c
Se debe despejar el valor de B, por lo que se hace el siguiente procedimiento:
[Ln(B)=Kt+c]*e
B=e^(Kt+c)
B=〖ce〗^Kt
B(t)=〖ce〗^Kt
Se aplica la condición inicial para obtener c:
T=0 B(0)= Bo
Bo=〖ce〗^(K(0))
y se obtiene que
C= Bo
Se sustituye el valor de c en la ecuación y queda la solución general del problema:
B(t)=〖Boe〗^Kt
Aplicando la condición a la frontera se obtiene que
T=8 B(8)= 2Bo
2Bo=〖Boe〗^K(8)
2=e^K(8)
Para despejar t se utiliza la función Ln y con esto se elimina exp:
Ln(2)=8*K
Se despeja el valor de k y se obtiene la tasa de crecimiento
K=1/8*Ln(2)
K=0.086643
3) Un cristal crece 5% en un día. ¿Cuándo se puede esperar que el cristal tenga el doble de su tamaño?
VARIABLE DEPENDIENTE
Cristal=ε
VARIABLE INDEPENDIENTE
Tiempo=t
El crecimiento del cristal respecto al tiempo, es proporcional al tamaño del cristal, y para que se una ecuación, se debe multiplicar por la constante k, que tiene las unidades necesarias para que sea una igualdad.
dε/dt=kε
La ecuación diferencial es separable:
∫▒dε/ε=k∫▒dt
y la solución de la ecuación diferencial es:
Ln(ε)=Kt+c
Se debe despejar el valor de ε, por lo que se hace el siguiente procedimiento:
[Ln(ε)=Kt+c]*e
ε=e^(Kt+c)
ε=〖ce〗^Kt
ε(t)=〖ce〗^Kt
Se aplica la condición inicial para obtener c:
T=0 ε (0)= ε_0
ε_0=〖ce〗^(K(0))
y se obtiene que
C= ε_0
Se sustituye el valor de c en la ecuación y queda la solución general del problema:
ε(t)=〖ε_0 e〗^Kt
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