Aplicación Biología Máximos Y Mínimos

Como veremos a continuación las aplicaciones de la función máximos y mínimos en la biología es variada e igualmente con respecto a las integrales las cuales daremos ejemplos de cada uno, comenzaremos con máximos y mínimos:

La virulencia de cierta bacteria se mide en una escala de 0 a 50 y viene expresada por la función V(t)= 40+15t-9t2+t3, donde t es el tiempo(en horas) transcurrido desde que comienzo en estudio (t=0). Indicar los instantes de máxima y mínima virulencia en las 6 primeras horas y los intervalos en que esta crece y decrece.

Solución

Para que la función tenga un máximo o un mínimo la derivada debe ser cero.

V´(t)= 15-18t+3t2, igualando a 0, 3t2-18t+15=0

Simplificando t2-6t+5=0, cuyas soluciones son 5 y 1.

Ahora voy a ver quién es el máximo y quien el mínimo de la función, en el intervalo [0, 6], que tiene que estar entre estos dos valores

junto o en los extremos del intervalo (por el teorema de Weirtrars).

Ordenamos la función V por comodidad, V(t)= t3-9t2+15t+40

V(0)=40

V(5)=125-225+75+40 =15

V(1)=1-9+15+40= 47

V(6)=216-324+90+40=22

La máxima virulencia es a las 1 horas y la mínima a las 5 horas.

Para ver los intervalos de crecimiento y decrecimiento estudiamos el signo de la derivada: V’(t)=3t2-18t+15

0 1 5 6

V’ + 0 - 0 +

Luego V crece desde 0 a 1 y desde 5 a 6, (crece en (0, 1) unión (5, 6) ) y decrece en el intervalo (1, 5)

Observando la gráfica de esta función vemos lo q hemos deducido.

7. La cantidad de agua recogida en 2002 (en millones de litros), en cierto pantano, como función del instante de tiempo t (en meses), viene dada a través de la expresión

Se pide:

a) En que periodo de tiempo aumento la cantidad de agua recogida?

b) En que instante se obtuvo la cantidad máxima de agua?

c) Cual fue esa cantidad máxima?

Solución

Teniendo en cuenta la regla de derivación de un cociente:

duv=vdu-u(dv)v2

Si ,

f´t=t-62+1d10-10(d{t-62+1)}{t-62+1)}2

f´t=t-62+10-10(2t-12){t-62+1)}2

f´t=-20t+120{t-62+1)}2

su derivada es f’(t)=

Y si queremos que sea cero, tiene que ser cero el numerador, de donde t =6

f´t=-206+120{6-62+1}2

f´t=01=> 0

Señalamos el punto 6 en la recta y estudiamos el crecimiento de la función, f, entre 0 y 12

0 6 12

Crece

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