Calculo Integral

Desigualdades cuadráticas

Consideremos la inecuación:

x2 − 6x + 8 > 0

La resolveremos aplicando los siguientes pasos:

1ºIgualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado.

x2 − 6x + 8 = 0

2º Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:

P(0) = 02 − 6 • 0 + 8 > 0

P(3) = 32 − 6 • 3 + 8 = 17 − 18 < 0

P(5) = 52 − 6 • 5 + 8 = 33 − 30 > 0

3º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que el polinomio.

S = (-∞, 2) (4, ∞)

Consideremos el caso en que discriminante es cero.

x2 + 2x +1 ≥ 0

x2 + 2x +1 = 0

(x + 1)2 ≥ 0

Como un número elevado al cuadrado es siempre positivo la solución es

Solución

x2 + 2x +1 ≥ 0 (x + 1)2 ≥ 0

x2 + 2x +1 > 0 (x + 1)2 > 0

x2 + 2x +1 ≤ 0 (x + 1)2 ≤ 0 x = − 1

x2 + 2x +1 < 0 (x + 1)2 < 0

Consideremos el caso en que discriminante es menor que cero.

x2 + x +1 > 0

x2 + x + 1 = 0

Cuando no tiene raíces reales, le damos al polinomio cualquier valor si:

El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la solución es .

El signo obtenido no coincide con el de la desigualdad, no tiene solución.

Solución

x2 + x +1 ≥ 0

x2 + x +1 > 0

x2 + x +1 ≤ 0

x2 + x +1 < 0

Desigualdades fraccionarias

Las inecuaciones fraccionarias o racionales tienen la incognita en el denominador.

Las inecuaciones racionales se resuelven de un modo similar a las de segundo grado, pero hay que tener presente que el denominador no puede ser cero.

1º Hallamos las raíces del numerador y del denominador.

x − 2 = 0 x = 2

x − 4 = 0 x = 4

2º Representamos estos valores en la recta real, teniendo en cuenta que las raíces del denominador, independientemente del signo de la desigualdad, tienen que ser abiertas.

3ºTomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:

4º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que la fracción polinómica.

S = (-∞, 2] (4, ∞)

Pasamos el 2 al primer miembro y ponemos a común denominador.

Hallamos las raíces del numerador y del denominador.

−x + 7 = 0 x = 7

x − 2 = 0 x = 2

Evaluamos el signo:

S =

...