Calculo modulo 2 problema de optimización

Contexto

Se presenta un problema de planteo de optimización de dos variables, donde la derivada es usada para resolver un problema de aplicación real.

La Pyme Chicocos necesita realizar una gran cantidad de folletos para generar publicidad sobre sus productos y para ello recurre a una imprenta, quién recibe el encargo de diseñar los folletos con las siguientes características:

 La zona impresa debe ocupar 75 centímetros cuadrados.

 Los márgenes superiores e inferiores deben medir 4 cm cada uno.

 Los márgenes laterales deben medir 3 cm cada uno.

Se requiere calcular las dimensiones del folleto para que minimizan la cantidad de papel posible.

Las variables del problema y la relación entre ellas

Como no se conocen las dimensiones del folleto, se asignan dimensiones variables, en este caso x se define como el largo e y se define como el ancho del área impresa del folleto, por lo que se tiene la relación entre las variables.

Se requiere que el área impresa tenga una dimensión de 75 cm ², representado por:

(x) (y) = 75 centimetros cuadrados.

La superficie del papel es la base por la altura del folleto, lo que nos da la función:

F = (y + 6) (x + 8)

Con la condición de que xy = 75

1.- Primero despejamos x:

x = 75

y

2.-Luego reemplazamos la función:

F (y) = ( y + 6 ) ( 75 + 8 )

Y

Multiplicamos los paréntisis:

F (y) = ( 75 + 8y + 450 + 48 )

y

Y reducimos términos semejantes y nos da la función a optimizar:

A (y) = ( 8y + 450 + 123 )

y

3.- Derivamos la función para encontrar los puntos críticos

Para derivar usamos la siguiente propiedad:

Quedando:

A' (y) = ( 8 - 450 )

y 2

4.- Igualamos a cero y resolvemos la ecuación

8 - 450 = 0

y 2

Desarrollo de ecuación:

Por lo tanto los puntos críticos obtenidos son el resultado de la ecuación, la que nos da un número negativo – 7,5 y un numero positivo 7,5 cabe mencionar que lo que buscamos es una dimensión, por lo que no puede ser un número negativo, ya que las magnitudes de dimensiones corresponden a números naturales (N ≥ 0), así que se considera el valor positivo Y = 7,5.

4.- Analizamos los signos de la derivada para determinar que el punto crítico obtenido es mínimo.

Reemplazamos la derivada:

A' (7.) = ( 8 - 450 ) = 8 - 450 = 8 - 9,18 = -1,18

7 2 49

A' (7,5.) = ( 8 - 450 ) = 8 - 450 = 8 - 8 = 0

7,5 2 56,25

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