Concepto intuitivo de límite de una función

Precálculo Quinta edición

Matemáticas para el cálculo

Límites

JAMES STEWART, LOTHAR REDLIN, SALEEMWATSON

Pag. 881-924

3.1 Concepto intuitivo de límite de una función.

Limites

Esquema del capitulo

En este capitulo se estudia la idea central subyacente al cálculo, el concepto de “límite”.

El cálculo se emplea para modelar numerosos fenómenos de la vida real, en particular situaciones relacionadas con cambio o movimiento. Para entender la idea básica de límites considérese dos ejemplos fundamentales.

Para hallar el área de una figura poligonal simplemente se divide en triángulos y se suman sus áreas, como se muestra en la figura que se encuentra a la a bajo.

Sin embargo, es mucho más difícil hallar el área de una región con lados curvos. Una manera es aproximar el área inscribiendo polígonos en la región. En la figura se ilustra cómo se hace esto para un círculo.

Si es el área de polígono regular inscrito con lados, entonces se puede observar que cuando aumenta, se aproxima cada vez más al área del círculo. Se dice que el área del círculo es el “límite” de las áreas y se escribe

En caso de hallar un patrón para las áreas , entonces se podría determinar el límite de manera exacta. En este capítulo se usa una idea similar para hallar las áreas de regiones acotadas por gráficas de funciones.

En el capitulo 2 se aprendió cómo hallar la tasa de cambio promedio de una función. Por ejemplo, para hallar la velocidad promedio se divide la distancia total recorrida entre el tiempo total. Pero, ¿Cómo se puede encontrar la velocidad “instantánea”; es decir, la velocidad en un determinado instante? No se puede dividir la distancia total recorrida entre e tiempo total, ¡porque en un instante la distancia total recorrida es cero y el tiempo total empleado en el recorrido es cero! Pero se puede hallar la taza de cambio “promedio” en intervalos cada vez más pequeños mediante una ampliación en el instante deseado. Por ejemplo, suponga que proporciona la distancia que un automóvil ha recorrido en el tiempo. Para determinar la velocidad del automóvil exactamente a las 2:00 p.m., se halla primero la velocidad promedio en un intervalo de 2 y un poco después de 2, es decir, en el intervalo . Se sabe que la velocidad promedio en este intervalo es . Al determinar esta velocidad promedio para valores cada vez más pequeños de (permitiendo que se acerque a cero), se realiza una amplificación del instante deseado. Se puede escribir.

Velocidad instantánea

Si se encuentra

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