Conjuntos, Diagrama De Veen, Particiones De Bayes

Conjuntos

Es la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados en él la mente o en la intuición, por lo tanto, estos objetos son bien determinados y diferenciados.

Un conjunto es la reunión en un todo de objetos bien definidos y diferenciables entre sí, que se llaman elementos del mismo.

¿Cuáles son las formas de determinar un conjunto?

Un conjunto puede determinarse de dos formas:

• Por extensión: escribiendo dentro de una llave los nombres de los elementos del conjunto.

• Por comprensión: escribiendo dentro de una llave una propiedad característica de los elementos del conjunto y solamente de ellos.

Ejemplo: El conjunto de los meses del año se nombra:

Por extensión: {Enero, febrero, marzo, abril, mayo, junio, julio, agosto, septiembre, octubre, noviembre, diciembre}

Por comprensión: {meses del año}, o bien, de esta otra forma: {x/x es un mes del año}, que se lee: conjunto de elementos x tales que x es un mes del año.

Ejemplos de conjuntos:

o el conjunto vacío, que carece de elementos.

o N: el conjunto de los números naturales.

o Z: el conjunto de los números enteros.

o Q : el conjunto de los números racionales.

o R: el conjunto de los números reales.

o C: el conjunto de los números complejos.

Un conjunto se suele denotar encerrando entre llaves a sus elementos, si se define por extensión,

o su propiedad característica, si se define por comprensión. Por ejemplo:

o A := {1,2,3, ... ,n}

o B := {p Z | p es par}

Se dice que A está contenido en B (también que A es un subconjunto de B o que A es una parte de B),

y se denota A  B, si todo elemento de A lo es también de B, es decir, a  A  a  B.

Dos conjuntos A y B se dicen iguales, y se denota A = B, si simultáneamente A  B y B  A;

esto equivale a decir que tienen los mismos elementos (o también la misma propiedad característica).

Para cualquier conjunto A se verifica que  A y A  A;

B  A es un subconjunto propio de A si A   y B  A.

El conjunto formado por todos los subconjuntos de uno dado A se llama partes de A, y se denota  (A).

Entonces, la relación B  A es equivalente a decir B   (A). Ejemplos:

Si A = {a,b} entonces  (A) = { ,{a},{b},A}.

Si a  A entonces {a}  (A).

Cuando en determinado contexto se consideran siempre conjuntos que son partes de uno dado U,

se suele considerar a dicho U como conjunto universal o de referencia.

Operaciones entre conjuntos

Una de las principales teorías dentro de la matemática actual es la Teoría de los Conjuntos. Podríamos decir que es una teoría que nos explica el funcionamiento de una colección de elementos cuando realizamos alguna operación con ellos.

Sean A y B dos subconjuntos de un conjunto universal U. Definimos las siguientes operaciones entre conjuntos:

Unión: A ∪ B = { } x∈U : x∈ A ó x∈ B

Intersección: A ∩ B = { } x∈U : x∈ A y x∈ B

Diferencia o resta: A \ B = { } x∈U : x∈ A y x∉ B

Diferencia simétrica: A∆B = ( ) ( ) A \ B ∪ B \ A

Complementario: A U A { }

PROPIEDADES UNION INTERSECCION

1.- Idempotencia A  A = A A  A = A

2.- Conmutativa A  B = B  A A  B = B  A

3.- Asociativa A  ( B  C ) = ( A  B )  C A  ( B  C ) = ( A  B )  C

4.- Absorción A  ( A  B ) = A A  ( A  B ) = A

5.- Distributiva A  ( B  C ) = ( A  B )  ( A  C ) A  ( B  C ) = ( A  B )  ( A  C )

6.- Complementariedad A  A' = U A  A' = 

Diagramas de Veen

Los conjuntos de suelen representar gráficamente mediante "diagramas de Venn", con una línea que encierra a sus elementos.

Así, todas las operaciones entre conjuntos se pueden representar gráficamente con el fin de obtener una idea más intuitiva.

Los Diagramas de Venn se basan fundamentalmente en representar los conjuntos matemáticos con unas “circunferencias”. Con estas circunferencias el estudiante realiza una serie de operaciones como la unión, la intersección, etc. Podríamos decir que el manejo de los Diagramas de Veen sirven para orientar al estudiante, son una herramienta metodológica que tiene el profesor para explicar la Teoría de Conjuntos.

Diagrama de la intersección de dos conjuntos.

En teoría la intersección de dos conjuntos podemos definirla como la parte común que tienen dos conjuntos, si es que existe (Ejemplo de inexistencia: la intersección de los números pares con los impares). Pues el diagrama que viene a continuación representa dicha situación.

La intersección de los conjuntos A y B es la parte azulada, en efecto vemos que la parte común que comparte el conjunto A con el B es la parte azul.

En matemáticas la intersección se representa A∩B.

Diagrama de la intercesión vacía (no hay ningún elemento común)

En efecto, se observa que ambos conjuntos no tienen ninguna parte común. Esto se le llama en Matemáticas conjunto vacío y se representa: Ø.

Diagrama de la unión de dos conjuntos.

En teoría la unión de dos conjuntos podemos definirla como una “suma” de un conjunto con otro. Pues el diagrama que se muestra a continuación representa la situación descrita anteriormente.

La unión de los conjuntos A y B es la parte colorada, podemos ver que se han sumado el conjunto A y el B. En matemáticas la unión se representa AUB.

Diagrama del complementario de un conjunto.

En teoría el complementario de un conjunto se hace en referencia a un conjunto universal y se define como los elementos que no pertenecen al conjunto. Tan raro se entiende mejor con el siguiente diagrama.

El conjunto U es el universal (parte amarilla y blanca) y el complementario de A es solo la parte amarilla del dibujo. El complementario de un conjunto se representa Ac.

Diagrama de la diferencia de conjuntos.

La diferencia B - A es la parte de B que no está en

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