Cuadrados Magicos
Enviado por narujota • 7 de Febrero de 2012 • 10.357 Palabras (42 Páginas) • 1.555 Visitas
Cuadrado mágico
Un cuadrado mágico es una tabla donde se dispone de una serie de números enteros en un cuadrado o matriz de forma tal que la suma de los números por columnas, filas y diagonales principales sea la misma, la constante mágica. Usualmente los números empleados para rellenar las casillas son consecutivos, de 1 a n², siendo n el número de columnas y filas del cuadrado mágico.
Los cuadrados mágicos actualmente no tienen ninguna aplicación técnica conocida que se beneficien de estas características, por lo que sigue recluido al divertimento, curiosidad y al pensamiento matemático. Aparte de esto, en las llamadas ciencias ocultas y más concretamente en la magia tienen un lugar destacado.
El artículo se presenta en 2 partes claramente diferenciadas, en la primera se aborda, una descripción completa de lo que es un cuadrado mágico desde el punto de vista matemático y presenta un conjunto de secciones que describen su elaboración. También recoge algunos cuadrados mágicos famosos por aparecer en el arte y la narración acerca de su historia (fuera de toda duda, omitiendo las narraciones dudosas, bien que es conocido que su surgimiento en oriente y occidente son independientes). En la segunda parte se trata el aspecto mágico de los cuadrados, se especifica cómo y para qué eran usados, luego se introducen las cualidades de los cuadrados que eran (y son) de interés para los magos y algunas anotaciones, finalmente se aborda un modelo de elaboración más fácil de hacer que de describir en detalle.
Hay que percatarse que si los cuadrados mágicos han cautivado la atención de insignes matemáticos de la talla de Euler, Fermat, Pascal ó Leibnitz no dejará indiferente a cualquier entusiasta de las matemáticas.
Introducción
Consideremos la sucesión matemática 1, 2, 3, 4... 36 (cuadrado de orden 6), y dispongamos los números ordenadamente en dos series dispuestas en zig-zag:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
36
35
34
33
32
31
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
Resulta evidente que cualquier par de números alineados verticalmente suma lo mismo ya que a medida que nos desplazamos por las columnas, en la fila superior se añade una unidad, mientras que en la fila inferior se resta. La suma es en todos los casos la de los números extremos:
n2 + 1 = 36 + 1 = 37
1
2
3
4
5
6
12
11
10
9
8
7
13
14
15
16
17
18
24
23
22
21
20
19
25
26
27
28
29
30
36
35
34
33
32
31
Si disponemos el conjunto de números en seis filas (ver tabla a la derecha), fácilmente se puede apreciar que las sumas en las distintas columnas han de ser necesariamente iguales, ya que los números se encuentran agrupados por pares tal y como estaban en el primer caso (compárese los pares de filas 1ª-6ª, 2ª-5ª y 3ª-4ª con la disposición original). Ahora sin embargo, por ser tres los pares de filas (n/2), la suma será:
cantidad que se denomina constante mágica, y que en nuestro caso es n×(n² + 1)/2 = 6×(36 + 1)/2 = 111.
Orden n
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
M2 (n)
15
34
65
111
175
260
369
505
671
870
1105
Salta a la vista que el cuadro anterior no es un cuadrado mágico, ya que al disponerse los números de forma consecutiva, las sumas de las cifras de cada fila son cada vez mayores. Sin embargo hemos encontrado seis series de números comprendidos entre 1 y 36, de forma tal que, sin repetirse ninguno, las sumas de las series son la constante mágica. Si en vez de la disposición anterior colocamos los números consecutivamente, obtenemos una disposición en la que los números de la diagonal principal se pueden escribir de la forma (a-1)×n + a.
Calculando la suma, sabiendo que las filas a van de 1 a n:
De nuevo la constante mágica. Más aún, cualquier serie de seis valores en los que no haya dos de la misma fila o columna sumará la constante mágica. Escribiendo el término i, j de la matriz como (i-1)×n + j, y tomando 6 términos cualesquiera con la condición de que ni i, ni j se repitan y varíen de 1 hasta n, la ecuación resultante será exactamente la misma que en el caso anterior y la suma, por tanto, la constante mágica.
Como se puede demostrar, la cantidad de series posibles de n números que cumplan la condición anterior es n!, 720 en cuadrados de orden 6, y ni siquiera son todas las posibles, ya que antes habíamos obtenido seis que no están incluidas entre ellas.
De orden 3 existe un único cuadrado mágico (las distintas variaciones se pueden obtener por rotación o reflexión),
...