Derivadas Parciales De Orden Superior

Derivadas parciales de orden superior

Ejemplo 1

Encontrar las derivadas parciales segundas de y calcular el valor de

fxy (-1,2)

Solución

Primero calculemos las derivadas parciales primeras con respecto a x y a y:

Y derivando cada una de estas con respecto a x y a y, resulta

Finalmente, fxy (-1,2)=12-40=-28

Se observa que las derivadas parciales cruzadas son iguales.

Ejemplo 2

Probar que las derivadas parciales cruzadas son iguales para la función

Solución

Las parciales primeras son,

Y las parciales cruzadas son,

Ejemplo 3

Encontrar las derivadas parciales primeras con respecto a x e y

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Derivada direccional

Ejemplo 1

Calcular la derivada direccional de en (1,2) en la dirección

de

Solución

Evaluando en , x=1 e y=2, tenemos

Ejemplo 2

Calcular la derivada direccional de en (-1,3) en la dirección que va desde

P(-1,3) a Q(1,-2)

Solución

Un vector en la dirección especificada es

y un vector unitario en esta dirección es

Como , el gradiente (-1,3) es

En consecuencia, en (-1,3) la derivada direccional es

Ejemplo 3

Calcular la derivada direccional de en (1, ) en la dirección de v=3i-4j

Solución

Comenzamos obteniendo un vector unitario en la dirección de v:

Usando este vector unitario, tenemos

Derivada implícita.

Hallar de la función implícita

aplicando la notación a cada termino y extrayéndolas constantes

En el primer término las variables coincides, se derivan normalmente, en el segundo termino se aplica la derivada de un producto (primer paréntesis cuadrado), lo mismo en el tercer término.

La regla de la cadena se aplica el término , como puede observarse a continuación claramente en el segundo paréntesis.

Quitando paréntesis y ordenando los términos Pasando algunos términos al lado derecho

Extrayendo el factor común Y finalmente despejando obtenemos la respuesta requerida

...