ECUACIONES DIFERENCIALES

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ARAGON

APUNTES DE ECUACIONES DIFERENCIALES

ELABORADOS POR LOS ALUMNOS DEL PROFESOR CLEMENTE CASTILLEJA SALAS

MÉXICO, D.F.                                                                           FEBRERO 2020

ECUACIONES DIFERENCIALES

Definiciones basicas.        1

1.        Ecuaciones difrenciales de primer orden.        1

Descomposición del radio.        1

1.1.        Separación de variables.        3

1.2.        Simple sustitución        5

1.3.        Ecuaciones homogéneas.        7

1.4.        Ecuaciones diferenciales exactas.        11

1.5.        Ecuaciones diferenciales lineales.        13

2.        Ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes.        16

2.1.        Operador “D”.        16

2.2.        Ecuación con raíces reales y diferentes.        19

2.3.        Ecuación con raíces reales e iguales.        23

2.4.        Ecuación con raíces complejas.        26

2.5.        Ecuación diferencial lineal no homogénea.        28

2.5.1.        Metodo de coeficientes indeterminados.        28

2.6.        Aplicaciónes ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes.        34

2.6.1.        Leyes de Kirchhoff.        34

3.        Transformada de Laplace        37

3.1.        Definición        37

3.2.        Transformada inversa de Laplace        38

3.3.        Tabla de transformadas.        39

3.4.        Transformadas de derivadas        41

3.5.        Resolución de ecuaciones diferenciales mediante transformadas.        42

3.6.        Transformada inversa por fracciones parciales.        43

4.        Sistemas de ecuaciones diferenciales        49

4.1.        Operaciones con matrices        49

4.2.        Sistemas lineales de primer orden.        54

4.3.        El método del eigenvalor para sistemas homogéneos.        59

4.3.1.        Eigenvalores reales distintos. Ejemplo tanques.        64

4.3.2.        Eigenvalores complejos. Ejemplo tanques.        67

5.        Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.        71

5.1.        Ecuación en una dimensión de calor.        71

Definiciones basicas.

• ¿Qué es una ecuación diferencial?

Una ecuación diferencial es una ecuacion matematica que relaciona una función con sus derivadas.

• Orden de una ecuación diferencial.

El orden de una ecuación diferencial (ordinaria o en derivadas parciales). - Es el de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación.

• Grado de una ecuación diferencial.

Es la potencia a la que esta elevada la derivada mas alta, siempre y cuando la ecuación diferencial este dada en forma polinomial.

1. Ecuaciones difrenciales de primer orden.

Descomposición del radio.

Ejemplo. El radio se descompone en forma proporcional a la cantidad de radio existente en un momento determinado.

1. Formular una ecuación diferencial que describa el proceso.

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1. Resolver la ecuación diferencial obtenida.

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1. Considerar lo siguiente:

En  se Tienen  de radio. Determinar la solución particular respectiva.[pic 11][pic 12]

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1. Considerar ahora lo siguiente

Si  años después los  de radio se transforman en . Determinar la constante técnica o física  correspondiente.[pic 16][pic 17][pic 18][pic 19]

Nota:   medirlo en siglos.[pic 20]

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A continuación, se muestra una tabla con su respectivo grafico en la cual podemos apreciar como decae el porcentaje del radio a través de los años.

1. Separación de variables.

En la ecuación diferencial

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Cada parte tiene una interpretación numerica definida. Sin embargo, por conveniencia y por su forma sugeridora, como se puede comprobar mas abajo en (4), la expresión (1) se escribe con frecuencia en la forma diferencial

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