Ecuaciones Diferenciales
Enviado por omar3445 • 2 de Diciembre de 2013 • 2.207 Palabras (9 Páginas) • 217 Visitas
Breve historia de las ecuaciones diferenciales
Estas notas pretenden mostrar una breve
historia de las ecuaciones diferenciales. Se ha
pretendido dar m´as ´enfasis a las ideas que a
las biograf´ıas de los matem´aticos creadores de
la teor´ıa. En la siguiente direcci´on
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk
se halla una colecci´on de biograf´ıas de los
matem´aticos m´as famosos.
La mayor parte de estas notas hist´oricas
est´a sacadas de [1].
1. Ecuaciones diferenciales de 1
Los primeros intentos para resolver problemas
f´ısicos mediante el c´alculo diferencial a
finales del siglo XVII llevaron gradualmente
a crear una nueva rama de las matem´aticas,
a saber, las ecuaciones diferenciales. A mediados
del siglo XVIII las ecuaciones diferenciales
se convirtieron en una rama independiente y
su resoluci´on un fin en s´ı mismo.
Ya Newton (los creadores del c´alculo infinitesimal
fueron Leibniz y Newton) observ´o
que si d
n
y/dx
= 0, entonces y(x) es
un polinomio de grado n − 1, en particular, y
depende de n constantes arbitrarias, aunque
esta afirmaci´on tuvo que esperar hasta el siglo
XIX para poder ser demostrada con rigor (la
demostraci´on est´andar actual usa el teorema
del valor medio). Los matem´aticos de la ´epoca
con frecuencia usaban argumentos f´ısicos: si
y(t) denota la posici´on en el tiempo t de una
part´ıcula, entonces dy/dt es su velocidad. Si
dy/dt = 0, se tiene que la velocidad es nula, es
decir, la part´ıcula no se mueve y su posici´on,
por tanto, permanece constante.
n
En 1693 Huygens habla expl´ıcitamente de
ecuaciones diferenciales y en el mismo a˜no,
Leibniz dice que las ecuaciones diferenciales
son funciones de elementos del tri´angulo caracter´ıstico.
er
orden
1
✻
ds
dx
dy
✲
Figura 1: El tri´angulo caracter´ıstico.
En 1690, Jacques Bernouilli plante´o el problema
de encontrar la curva que adopta una
cuerda flexible, inextensible y colgada de dos
puntos fijos, que Leibniz llam´o catenaria (del
lat´ın cadena). Galileo pens´o que esta curva
era una par´abola, mientras que Huygens
prob´o que esto no era correcto.
✻
❝
a b
❝
Figura 2: Una catenaria.
✲
En 1691, Leibniz, Huygens y Jean Bernouilli
publicaron soluciones independientes. La de
Jean Bernouilli es la que se encuentra habitualmente
en los textos de mec´anica:
Consideremos un cable homog´eneo sujeto
por sus dos extremos (que suponemos a la
misma altura) y que distan 2a uno del otro
y sea ρ la densidad del cable. Sea y = y(x) la
funci´on que describe la posici´on del cable. Por
conveniencia se asumir´a que la altura m´ınima
del cable ocurre en x = 0 (o en otras palabras,
y
0
(0) = 0).
✻
s s
✛T
0
y
✑
✑
θ
❝
❝
✑
✑
✑
✑
x
a
✑
✑✸
T
Figura 3: Deducci´on de la ecuaci´on de la catenaria.
Sea (x, y) un punto arbitrario del cable (por
conveniencia lo situamos en el tramo positivo
de las x; en otro caso, el razonamiento es completamente
igual) y pensemos en las fuerzas
que act´uan en el trozo de cable desde el punto
de altura m´ınima hasta (x, y):
El peso P. Si m es la masa y s es la longitud
del trozo considerado del cable, se
tiene m = ρs y por tanto, P = (0, −gρs),
donde g es la aceleraci´on terrestre.
La fuerza T
que ejerce la parte izquierda
del cable sobre el punto de altura m´ınima.
Se tiene T
0
0
= (−kT
0
k, 0)
La fuerza T que ejerce la parte derecha
del cable sobre el extremo derecho (x, y)
del trozo de cable considerado. Observando
la figura 3 se tiene que T =
kTk(cos θ, sen θ).
La condici´on de equilibrio es P+T
+T = 0.
O componente a componente:
kT
0
0
k = kTk cos θ, gρs = kTk sen θ.
Dividiendo ambas expresiones.
tan θ =
gρs
kT
0
✲
k
. (1)
2
A partir de ahora, denotaremos c = gρ/kT
k.
Como (v´ease la figura 1)
dy/dx = tan θ, (ds)
2
= (dx)
2
+ (dy)
,
si derivamos (respecto a x) la ecuaci´on (1), se
obtiene
d
2
y
dx
2
= c
p
O escrito de otro modo,
d
2
y
dx
2
= c
s
(dx)
2
+ (dy)
dx
.
1 +
dy
dx
2
2
.
Por supuesto, esto es una ecuaci´on de segundo
orden; pero haciendo el cambio v = dy/dx, se
convierte en
dv
dx
= c
p
1 + v
2
2
. (2)
Problema 1: Resuelva la ecuaci´on (2). Use
ahora y
(0) = 0 para deducir que la ecuaci´on de
la catenaria es
0
y(x) =
1
c
cosh(cx) + B, (3)
donde B es una constante arbitraria. ¿Qu´e significado
f´ısico o geom´etrico posee B?
El siguiente problema propone otra manera
de resolver la ecuaci´on (2) usando la teor´ıa
de las ecuaciones diferenciales lineales de orden
2:
Problema 2: Eleve al cuadrado (2) y derive
esta nueva ecuaci´on respecto a x para obtener
d
2
v/dx
2
= c
x. Halle ahora v = v(x) y obtenga
de nuevo (3).
2
La catenaria cumple otra importante
propiedad: de entre todas las curvas de longitud
dada, la que minimiza la energ´ıa potencial
es precisamente la catenaria. Si y : [−a, a] →
IR es la funci´on que describe la forma de la
0
catenaria (v´ease la figura 3), ρ es la densidad
del cable y g es la aceleraci´on de terrestre, la
energ´ıa potencial de
...