Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones Diferenciales

CONTENIDO:

Unidad 1 Ecuaciones diferenciales de primer orden

1.1 Teoría preliminar.

1.1.1 Definiciones (Ecuación diferencial orden grado linealidad).

1.1.2 Soluciones de las ecuaciones diferenciales.

1.1.3 Problema del valor inicial.

1.1.4 Teorema de existencia y unicidad.

1.2 Ecuación diferencial de variables separables y reducibles.

1.3 Ecuación diferencial exacta y factor integrante.

1.4 Ecuación diferencial lineal.

1.5 Ecuación diferencial de Bernoulli.

1.6 Aplicaciones Ecuaciones diferenciales.

Unidad 2 Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior.

2.1 Teoría preliminar-

2.1.1 Definición de Ecuación diferencial de orden n.

2.1.2 Problemas de valor inicial.

2.1.3 Teorema de existencia y unicidad de solución única.

2.1.4 Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas.

2.1.4.1 Principio de superposición.

2.1.5 Dependencia e independencia lineal , wronskiano.

2.1.6 Solución general de las Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas.

2.1.6.1 Reducción de orden de una ecuación diferencial lineal de orden dos a una de primer orden, construcción de una segunda solución a partir de otra ya conocida.

2.2 Solución de Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de coeficientes constantes.

2.2.1 Ecuación característica para ecuación diferencial lineal de segundo orden (raíces reales y distintas, raíces reales e iguales, raíces complejas conjugadas).

2.3 Solución de las Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas.

2.3.1 Método por coeficientes determinados.

2.3.2 Método de variación de parámetros.

2.4 Aplicaciones Ecuaciones diferenciales lineales.

Unidad 3 Transformada de Laplace.

3.1 Teoría preliminar.

3.1.1 Definición de la transformada de Laplace.

3.1.2 Condiciones suficientes de existencia para la transformada de Laplace.

3.2 Transformada directa.

3.3 Transformada inversa.

3.4 Propiedades Transformada de Laplace.

3.4.1 Transformada de Laplace de funciones definidas por tramos.

3.4.2 Función escalón unitario.

3.4.3 Propiedades de la transformada de Laplace (linealidad, teoremas de traslación).

3.4.4 Transformada de funciones multiplicadas por tn , y divididas entre t..

3.4.5 Transformada de derivadas teorema.

3.4.6 Transformada de integrales teorema.

3.4.7 Teorema de la convolucion.

3.4.8 Transformada de Laplace de una función periódica.

3.4.9 Función delta Dirac.

3.4.10 Transformada de Laplace de la función delta Dirac

3.5 Solución de ecuaciones transformada de Laplace.

Unidad 4 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.

4.1 Teoría preliminar.

4.1.1 Sistemas de Ecuaciones diferenciales lineales.

4.1.2 Sistemas de Ecuaciones diferenciales lineales homogéneos.

4.1.3 Solución general de sistemas de Ecuaciones diferenciales lineales y solución particular de sistemas de Ecuaciones diferenciales lineales.

4.2 Métodos de solución para sistemas de Ecuaciones diferenciales lineales.

4.2.1 Método de los operadores.

4.2.2 Método Utilizando transformada de Laplace.

4.3 Aplicaciones Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.

1.1 Teoría preliminar.

1.1.1 Definiciones (Ecuación diferencial, orden, grado, linealidad).

Ecuación Diferencial

Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes es una ecuación diferencial. Por ejemplo:

dy=(x+2y)dx (4x-y)dy=(x+2y)dx

Estas pueden ser ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones en derivadas parciales. Cuando una ecuación contiene solo derivadas ordinarias con respecto a una sola variable se dice que es una ecuación diferencial ordinaria (E.D.O) por ejemplo: dy/dx=x+4y

Si la ecuación contiene las derivadas parciales de una o más variables dependientes respecto a dos o más variables independientes se denominan ecuación en derivadas parciales.

Las ecuaciones diferenciales se clasifican según su orden, grado y linealidad.

De acorde a su orden se puede decir es el correspondiente al de la derivada de mayor índice que figura en ella, por ejemplo:

dy/dx=x+4y

Es de 3er orden Es de 2do orden Es de 1er orden

El grado de una ecuación diferencial se sitúa en el valor exponencial que corresponde a la derivada de mayor orden en la ecuación diferencial.

Esta ecuación es de 2do orden de grado 4

(dy/dx) =x+4y Es una ecuación de 1er orden de grado 2

Con respecto a la linealidad de una ecuación diferencial se dice que una ecuación diferencial de la forma F(x,y,y’,y’’,...,y(n))=0 es lineal cuando F es una función lineal de y, y’,y’’,...,y(n esto es que una ecuación es lineal si se puede escribir de esta manera

Tienen también características como la variable independiente y y todas sus derivadas son de primer grado y que el coeficiente solo depende de que es la variable independiente.

(x+2y)dy+5xdx=0 y^(´´)+〖2y〗^´-y=0 Son ecuaciones diferenciales lineales.

1.1.2 Soluciones de las ecuaciones diferenciales.

Una solución de una ecuación diferencial es toda relación entre las variables en la que no figuran derivadas ni diferenciales y que satisface idénticamente a la ecuación. La determinación de las funciones primitivas es la parte fundamental de la solución de una ecuación diferencial.

La solución general de una ecuación diferencial de orden n es aquella solución que contiene el máximo número (=n) de constantes arbitrarias. Es decir forma una familia de curvas por ejemplo:

y=A.e^3x+1

En la gráfica anterior se muestra una familia de curvas que es la solución general pero en ella tenemos la solución particular que en este caso sería solo una curva por ejemplo: y=3e^3x+1

1.1.3 Problema del valor inicial

Una ecuación diferencial está sujeta

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