Ecuaciones diferenciales parciales con valores en la frontera
Enviado por David Zavala Galindo • 24 de Noviembre de 2023 • Prácticas o problemas • 903 Palabras (4 Páginas) • 26 Visitas
1.- Encuentre el desplazamiento de la cuerda para el problema.
[pic 1]
[pic 2]
[pic 3]
[pic 4]
Si el desplazamiento inicial es cero y la velocidad inicial está dada por:
[pic 5]
Solución
Se resuelve por separación de variables. Se propone:
[pic 6]
Las derivadas parciales correspondientes son:
[pic 7]
Entonces:
[pic 8]
[pic 9]
Se analizan 3 casos.
Caso 1. [pic 10]
[pic 11]
Se obtienen las ecuaciones diferenciales:
[pic 12]
Resolviendo:
[pic 13]
Entonces:
[pic 14]
Se sustituyen las condiciones de frontera.
[pic 15]
[pic 16]
Por lo tanto . La solución se transforma en: [pic 17]
[pic 18]
Sustituyendo la otra condición:
[pic 19]
por lo tanto lo cual implica que . El caso nos lleva a una solución trivial, por lo cual se descarta. [pic 20][pic 21][pic 22]
Caso 2. [pic 23]
[pic 24]
Se obtienen las ecuaciones diferenciales:
[pic 25]
Resolviendo:
[pic 26]
[pic 27]
Por lo tanto:
[pic 28]
[pic 29]
Sustituyendo condiciones de frontera:
[pic 30]
[pic 31]
Por lo tanto:
[pic 32]
[pic 33]
La solución se transforma en:
[pic 34]
[pic 35]
Sustituyendo la otra condición de frontera:
[pic 36]
porque y . Por lo tanto lo cual implica que por lo que el caso 2 también nos lleva a una solución trivial. Entonces se descarta. [pic 37][pic 38][pic 39][pic 40][pic 41]
Caso 3. [pic 42]
[pic 43]
Se obtienen las ecuaciones diferenciales:
[pic 44]
Resolviendo:
[pic 45]
[pic 46]
Por lo tanto:
[pic 47]
[pic 48]
Se sustituyen las condiciones de frontera:
[pic 49]
[pic 50]
Por lo tanto . La solución se transforma en: [pic 51]
[pic 52]
Sustituyendo la otra condición de frontera:
[pic 53]
porque de lo contrario el caso nos llevará nuevamente a una solución trivial. Por lo tanto , lo cual se cumple cuando: [pic 54][pic 55]
[pic 56]
[pic 57]
Donde [pic 58]
Entonces:
[pic 59]
Aplicando principio de superposición se obtiene:
[pic 60]
Donde y y estos son coeficientes que dependen del valor de n. Se sustituyen ahora las condiciones iniciales. [pic 61][pic 62]
[pic 63]
[pic 64]
Por lo tanto . La solución se transforma en: [pic 65]
[pic 66]
Sustituyendo la condición de velocidad inicial:
[pic 67]
[pic 68]
[pic 69]
Por propiedades de senos y cosenos se puede convertir la igualdad anterior en lo siguiente:
[pic 70]
[pic 71]
Recordando que
[pic 72]
Se obtiene la integral:
[pic 73]
[pic 74]
[pic 75]
Evaluando:
[pic 76]
[pic 77]
[pic 78]
Por lo tanto, la solución obtenida es:
[pic 79]
Comprobación analítica
Se comprueban las condiciones de frontera y condiciones iniciales.
[pic 80]
[pic 81]
[pic 82]
[pic 83]
, por lo tanto: [pic 84]
[pic 85]
[pic 86]
[pic 87]
[pic 88]
[pic 89]
Por propiedades de series de senos y cosenos se tiene:
[pic 90]
[pic 91]
La cual fue la integral que se resolvió para obtener el coeficiente , por lo cual se considera que esta igualdad se cumple. [pic 92]
Comprobación gráfica
Se deben dar valores a las constantes que se tienen para poder graficar. Se proponen:
[pic 93]
Con lo cual se obtiene:
[pic 94]
[pic 95]
Graficando esta solución se obtiene lo siguiente.
[pic 96]
Figura 1. Gráfico de la solución obtenida para el problema 1.[pic 97]
Se observa que las condiciones de frontera se cumplen puesto que para cualquier tiempo. Se observa que la condición inicial se cumple puesto que para cualquier valor de x. Se observa que se obtiene un movimiento periódico en la cuerda, el cual corresponde a la velocidad inicial aplicada. Con lo cual se comprueba gráficamente que la solución obtenida satisface la ecuación de onda para las condiciones dadas. [pic 98][pic 99]
2.- Resuelva la ecuación de onda, sujeta a las condiciones citadas en el problema
[pic 100]
[pic 101]
[pic 102]
[pic 103]
Solución
Se resuelve por separación de variables. Se propone:
[pic 104]
Las derivadas parciales correspondientes son:
[pic 105]
Entonces:
[pic 106]
[pic 107]
Se analizan 3 casos.
Caso 1. [pic 108]
[pic 109]
Se obtienen las ecuaciones diferenciales:
[pic 110]
Resolviendo:
[pic 111]
Entonces:
[pic 112]
Se sustituyen las condiciones de frontera.
[pic 113]
[pic 114]
Por lo tanto . La solución se transforma en: [pic 115]
...