Estadística Descriptiva

Problema 1 (Ref: Pág. 223 - Ej. 5)

Una máquina de refrescos se ajusta para que la cantidad de bebida que sirve promedie 240 mililitros con una desviación estándar de 15mililitros. La máquina se verifica periódicamente tomando una muestra de 40 bebidas y se calcula el contenido promedio. Si la media de las 40 bebidas es un valor dentro del intervalo , se piensa que la máquina opera satisfactoriamente, de otra forma, se ajusta. En la sección 8.4, el funcionario de la compañía encuentra que la media de 40 bebidas es = 236 mililitros y concluye que la máquina no necesita un ajuste ¿Esta fue una decisión razonable?

Datos:

Variable aleatoria X: cantidad de bebida que sirve una máquina (en mililitros).

Tamaño de la muestra n = 40 bebidas.

Desviación estándar poblacional σx = 15 mililitros.

Media poblacional μx = 240 mililitros.

Media muestral = = 240 mililitros.

Desviación estándar muestral ≃2.3717 mililitros.

Incógnita:

Solución:

Reemplazando con nuestros datos

240 ml. – (2)(2.372 ml.) ≤ ≤ 240 ml. + (2)(2.372 ml.)

240 ml. – 4.744 ml. ≤ ≤ 240 ml. + 4.744 ml.

235.257 ml. ≤ ≤ 244.743 ml.

Respuesta:

Esta fue una decisión razonable puesto que 236 ml., que es la media encontrada se encuentra dentro del intervalo definido.

Problema 2 (Ref: Pág. 223 - Ej. 9)

La vida media de una máquina para hacer pasta es de siete años, con una desviación estándar de un año. Suponga que las vidas de estas máquinas siguen aproximadamente una distribución normal, encuentre:

a) La probabilidad de que la vida media de una muestra aleatoria de nueve de estas máquinas caiga entre 6.4 y 7.2 años;

b) El valor de a la derecha del cual caería el 15% de las medias calculadas de muestras aleatorias de tamaño nueve.

Datos:

Variable aleatoria X: vida útil de una máquina de hacer pasta (en años).

Media poblacional μx = 7 años.

Desviación estándar poblacional σx = 1 año.

Tamaño de la muestra n = 9 máquinas.

a) Incógnita:

P(6.4 ≤ ≤ 7.2)

Solución:

Aplicando Tabla A.3. = 0.7257 – 0.0359 = 0.6898 = 68.98%.

Respuesta:

La probabilidad de que la vida media de una muestra de 9 de esas máquinas caiga entre 6.4 años y 7.2 años es del 68.98%.

b) Incógnita:

Un valor de que deje a su derecha un área del 15% y por lo tanto un área del 85% a su izquierda.

Solución:

Con años y

Años

= 7.35 años

Respuesta:

El valor de que deja a su derecha un área del 15% es 7.35 años.

Problema 3 (Ref: Pág. 223/224 - Ej. 10)

El tiempo que el cajero de un banco con servicio en el automóvil atiende a un cliente es una variable aleatoria con media μ = 3.2 minutos y una desviación estándar σ = 1.6 minutos. Si se observa una muestra aleatoria de 64 clientes, encuentre la probabilidad de que su tiempo medio con el cajero sea:

a) a lo más 2.7 minutos;

b) más de 3.5 minutos;

c) al menos 3.2 minutos pero menos de 3.4 minutos.

Datos:

Variable aleatoria X: tiempo que un cajero atiende a un cliente (en minutos).

Media poblacional μx = 3.2 minutos.

Desviación estándar poblacional σx = 1.6 minutos.

Tamaño de la muestra n = 64 clientes.

a) Incógnita:

P( ≤ 2.7)

Solución:

= Aplicando Tabla A.3. = 0.0062 = 0.62%

Respuesta:

La probabilidad de que el tiempo promedio de los cliente con el cajero sea a lo más 2.7 minutos es de 0.62%.

b) Incógnita:

P( > 3.5)

Solución:

= Aplicando Tabla A.3. = 0.0668 = 6.68%.

Respuesta:

La probabilidad de que el tiempo promedio de los cliente con el cajero sea más 3.5 minutos es de 6.68%.

c) Incógnita:

P(3.2 ≤ ≤ 3.4)

Solución:

Aplicando Tabla A.3 = 0.8413 – 0.5000 = 0.3413 = 34.13%.

Respuesta:

La probabilidad de que el tiempo promedio de los cliente con el cajero este entre 3.2 y 3.4 minutos es de 34.13%.

Problema 4 (Ref: Pág. 224 - Ej. 12)

Se toma una muestra aleatoria de tamaño 25 de una población normal que tiene una media de 80 y una desviación estándar de 5. Una segunda muestra aleatoria de tamaño 36 se toma de una población normal diferente que tiene una media de 75 y una desviación estándar de 3. Encuentre la probabilidad de que la media muestral calculada de las 25 mediciones exceda de media muestral calculada de las 36 mediciones por al menos 3.4 pero en menos de 5.9. Suponga que las medias se miden al décimo más cercano.

Datos:

Tamaño de la primer muestra n1 = 25.

Media de la primer población μ1= 80.

Desviación estándar de la primer población σ1 = 5.

Tamaño de la segunda muestra n2 = 36.

Media de la segunda población μ2= 75.

Desviación estándar de la segunda población σ2 = 3.

Incógnita:

Solución:

Utilizando el Teorema 8.3; el que dice:

Si se extraen al azar muestras independientes de tamaño y de dos poblaciones, discreta o continuas, con medias y y varianzas y , respectivamente, entonces la distribución muestral de las diferencias

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