Formulario De Calculo Vectorial

MÁXIMOS Y MÍNIMOS: (H:HESSIANO y λ: LAGRANGIANO)

2 variables: Si se tiene un máximo relativo

Si se tiene un mínimo relativo

Si se tiene un punto silla ;

Si , El criterio no decide

Tres (o mas variables):

si se tiene un máximo relativo

si se tiene un mínimo relativo

Si algun =0: El criterio no decide

Dada

Continuidad de una función vectorial de variable escalar

es continua en t=t0 si : ;

Teorema: es continua en

Para funciones vectoriales de variable vectorial

Dada es continua en

Derivada de una función vectorial de variable escalar

;

;

Derivada de funciones vectoriales de variable vectorial:

de igual forma para y, z, se deriva componente a componente

así con y, z.

Derivadas parciales de la función vectorial de dos variables escalares

así para v

Teorema: es de modulo cte.

ECS. PARAMÉTRICAS DE UNA CURVA CUALQUIERA CON LA LONG. DE ARCO COMO PARÁMETRO

Si para a<t<b

Su longitud “s” está dada por

donde:

de la aceleración

VECTOR TANGENTE UNITARIO ó

VECTOR NORMAL UNITARIO ó ; Nota: Si

vector normal no siempre unitario

CURVATURA (1ª F. de Frenet-Serret)

donde K es la curvatura:

es el radio de curvatura

Calculo de radio de curvatura a partir de la función escalar:

VECTOR NORMAL:

VECTOR BINORMAL: ; Plano Oscular

PLANO NORMAL: ; Plano Rectificante

TORSIÓN:

torsión ,

si la ó la curva es plana (Sin Torsión )

3ª F. de Frenet-Serret ;

; ;

Si aparece el parámetro, la curva no es plana.

COMPONENTE TANGENCIAL Y NORMAL DE LA ACELERACIÓN (INTRINSECAS):

representa al tiempo

VELOCIDAD Y ACELERACION:

; ; ; ; ;

Para una superficie

Coordenadas polares en el movimiento (Radial-Transversal):

: y

:

y

UN CASO PARTICULAR ES EL MOVIMIENTO CIRCULAR:

Movimiento en el espacio: Velocidad angular y aceleración angular.

M.C.U. (Movimiento circular uniforme):

que por integración:

M.C.U.A.: Aceleracion angular uniforme:

Notacion alternativa:

Componentes de la aceleración en

Movimiento en el espacio en coordenadas cilíndricas:

:

COMPONENTES DE LA VELOCIDAD Y ACELERACIÓN:

POR JACOBIANOS:

; ;

DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE ESCALAR

;

DIFERENCIAL TOTAL DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE VECTORIAL

Si ;

DERIVADA DIRECCIONAL DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL

si

CALCULO DEL GRADIENTE (NABLA)de operaciones con funciones escalares se siguen las reglas de la derivación

;

;

si se tiene que

; ;

GRADIENTE DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE VECTORIAL

es un espacio vectorial de matrices

DIVERGENCIA: , y

Un fluido es incompresible si Un campo es senoidal si

 es armónica si

ROTACIONAL:

Transformación inversa

Sistemas Ortogonales, un sistema coordenado curvilíneo es ortogonal si se cumple:

se cumple

Teorema: Dados elementos de una base ortonormal se cumple

ejemplo

DE UNA FUNCIÓN ESCALAR 

en coord.. curvilíneas

DIVERGENCIA:

LAPLACIANO:

ROTACIONAL:

Coordenadas Polares

antitransformación

Coordenadas Cilíndricas

transformación inversa (coord.. cilíndricas)

Coordenadas esféricas

Transformación inversa:

INTEGRALES DE LÍNEA: ;

INTEGRAL INDEPENDIENTE DE LA TRAYECTORIA:

Es independiente de la trayectoria si es exacta o es conservativa es decir si se cumple

INTEGRALES CIRCUITALES(DE CONTORNO CERRADO):

F es conservativa

Cuando el integrando no sea fácil de integrar, cuando se sustituya el parámetro t hay que encontrar una función potencial  integrando como una ecuación diferencial.

Integrales de Línea en otros sistemas.

Sea

Para coordenadas cilíndricas:

Para coordenadas esféricas

Para coordenadas Polares:

Cálculo de ds en Coordenadas Polares:

INTEGRALES MULTIPLES

TIPOS DE REGIÓN:

Tipo 1 o Tipo X:

Tipo 2 o Tipo Y:

AREA: Cuando En coord.. Curvilíneas:

Cambio de variable:

Teorema de Green:

Area (Del teorema de Green):

Area de Superficies:

todo el cálculo en coordenadas cartesianas

Integrales triples:

si:

Integrales de superficie: , , ,

;

T. DE LA DIVERGENCIA(T. DE GAUSS): INTEGRAL DE SUPERFICIE

Si es una función vectorial continua en una región D cuyo volumen es V, y limitada por la superficie cerrada S, entonces: ;

El flujo total hacia el exterior de una superficie cerrada S es igual a la integral de la divergencia a través de la región D limitada por la superficie S.

T. de Stokes: Si C es una curva cerrada y S es la superficie limitada por C, para la función Vectorial

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