Igualdad de matrices

M A T R I C E S.

CONCEPTO GENERAL : Es un ordenamiento rectangular de elementos de un cuerpo K ( para nuestro caso K = IR ) , es decir , en la forma :

 aij  IK ,  i ,  j , i = 1,2,3,...,n ; j = 1,2,3,....,m.

Cada “ aij “ recibe el nombre de componente de una matriz.

Cada línea horizontal de componentes es una fila, cada línea vertical es una columna. Los subíndices indican la posición de cada componente, el primero “n” a la fila a que pertenece y el segundo “m” a la columna. Una matriz de “n” filas y “m” columnas la llamaremos matriz de orden “n por m “ y su notación es “ nxm ”.

Ejemplo : La matríz A = tiene 3 filas y 4 columnas,

es decir es de orden 3 x 4 .

Aquí , podemos identificar algunos elementos : a13 = -4 , a32 = -7 , etc.

Si una matriz tiene el mismo número de filas que de columnas se dice que es una matriz cuadrada de orden según el número de filas y columnas que tenga.

IGUALDAD DE MATRICES .

Dos matrices pertenecientes a Iknxm ( del mismo orden ) son iguales si tienen los mismos elementos en las mismas posiciones , es decir :

Ejercicios :

Encuentra el valor de las variables en cada caso.

TRASPUESTA DE UNA MATRIZ :

Sea A = se llama matriz traspuesta a la que se obtiene intercambiando las filas por las columnas, es decir a : AT =

Ejemplo : Dado A = entonces AT =

Ejeercicios :

Encuentra la matriz transpuesta de :

HORA DE HACER EL TALLER Nº 3

ADICION DE MATRICES .

Dadas las matrices A, B , C  IKnxm , entonces :

A + B = C  cij = aij + bij ,  aij  A ,  bij  B

Ejemplo : En IK2x2

A+ B =

PROPIEDADES DE LA ADICION DE MATRICES.

Dadas las matrices A, B , C y 0  IKnxm , entonces :

1) COMPOSICION INTERNA : A + B  IKnxm

2) ASOCIATIVA : A + (B + C) = (A + B) + C

3) CONMUTATIVA : A + B = B + A

4) ELEMENTO NEUTRO ADITIVO :

 A  IKnxm ,  ! 0  IKnxm : A + 0 = A = 0 + A

5) ELEMENTO INVERSO :

 A  IKnxm ,  ! (-A)  IKnxm : A + ( - A) = 0 = (-A) + A

E J E R C I C I O S.

Dada la matriz : A = encuentra :

5. 3a12 + 5a32 - a33 = 6,. -2a21 + 6a11 + 7a22 = 7. 5a32 + 3a31 =

8. En un Preuniversitario hay 5 clases ; en la primera hay 30 chicas y 5 chicos ; en la 2ª , 25 chicas y 12 chicos ; en la 3ª , 20 chicas y 20 chicos ; en la 4ª , 13 chicas y 25 chicos ; y , en la 5ª , 19 chicas y 11 chicos . Haz una matriz en la que pongas un 1 si el número de chicas excede al de chicos ; un 0 si es al revés ; y un 2 si son iguales. Así te podrás hacer una idea de la proporción de chicos y chicas estudiando en ese Preuniversitario.

Determina las matrices aij  IK3x4 , tales que :

9. aij = 0 , si i = j 10. aij = 1 , si i < j 11. aij = -1 , si i > j

Realiza las siguientes adiciones :

12. =

Encuentra el valor de las variables :

13.

Resuelve las ecuaciones matriciales :

14. x + 15.

PONDERACION DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR :

Sea p  IK , aij  IKnxm , entonces p  aij = bij ,  aij  A ,  bij  B

Ejemplo :

Ejemplo : 5

PROPIEDADES DE LA PONDERACION. p , q  IK , A  IKnxm

1) p(A + B) = pA + pB

2) (p + q)A = pA + q A

3) (pq)A = p(qA)

4) 1  A = A , 1 = neutro multiplicativo en IK.

E J E R C I C I O S

Dadas las matrices : A = ,B = , calcula en cada caso :

16. 2(A + B) = 17. 3A + 2B = 18. (2A - B)T =

Determina el valor de las variables , en las expresiones :

19. x

HORA DE HACER EL TALLER Nº 4

MULTIPLICACION DE MATRICES .

La multiplicación de matrices en IK2x2 , tales como las matrices

se define así :

A  B =

Ejemplo :

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION .

1. Propiedad General : La multiplicación entre matrices sólo existe entre aquellas matrices cuadradas del mismo orden y entre aquellas que tienen el número de columnas de la primera matriz igual al número de filas de la segunda matriz, es decir, una matriz perteneciente a IKnxm se puede multiplicar sólo con una matriz perteneciente Ikmxp , resultando una matriz de orden nxp .

2. La multiplicación de matrices es una ley de composición interna para aquellas

matrices que cumplen la propiedad general.

3. La multiplicación de matrices es asociativa.

4. En Iknxn existe la matriz identidad I :

 A  IKnxn ,  ! I  Iknxn : AI = A = IA

5. La multiplicación de matrices en Iknxn es distributiva sobre la adición :

A(B + C) = AB + AC

EJERCICIOS .

En IK2x2 determina el elemento identidad :

Dadas las matrices : A = , B = , C =

i) determina :

20. A B = 21. A2 = 22. (A + B)C = 23. AC + BC =

Encuentra el valor de las variables :

24.

LA

...