Las operaciones básicas del álgebra de conjuntos

Un conjunto:

Es la agrupación en un todo de objetos o elementos bien diferenciados en él la mente o en la intuición, por lo tanto, estos objetos son bien determinados y diferenciados.

Es la reunión, agrupación o colección de elementos bien definidos que tienen una propiedad en común.

Ejemplos: los alumnos de un colegio, los meses del año. Siendo cada alumno del colegio, cada mes del año, respectivamente, elementos de cada uno de los correspondientes conjuntos.

Este concepto es la base de las Matemáticas actuales, ya que, entre otras cosas, sirve para la construcción de los números. Sirve además para estudiar las estructuras algebraicas, con las cuales se organizan ordenadamente todos los conocimientos matemáticos.

Operaciones con conjuntos

Las operaciones básicas del álgebra de conjuntos son:

• Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene todos los elementos de A y de B.

Unión

• Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos comunes de A y B.

Intersección

• Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A \ B que contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B.

Diferencia

• Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene todos los elementos que no pertenecen a A.

Complemento

Diferencia simétrica

Es una operación que resulta en otro conjunto cuyos elementos son aquellos que pertenecen a alguno de los conjuntos iniciales, sin pertenecer a ambos a la vez. Por ejemplo, la diferencia simétrica del conjunto de los números pares P y el conjunto de los cuadrados perfectos C es un conjunto D que contiene los cuadrados impares y los pares no cuadrados:

P = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ...}

C = {1, 4, 9, 16, 25,...}

D = {1, 2, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 18...}

La diferencia simétrica de conjuntos se denota por Δ, por lo que P Δ C = D.

Diferencia simétrica

Operaciones con Conjuntos

Unión

La unión de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos de A con todos los elementos de B sin repetir ninguno y se denota como A∪ B . Esto es:

Intersección

La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto de los elementos de A que también pertenecen a B y se denota como A∩ B . Esto es:

Dos conjuntos son ajenos o disjuntos cuando su intersección es el conjunto vacío, es decir, que no tienen nada en común. Por ejemplo:

Complemento

El complemento del conjunto A con respecto al conjunto universal U es el conjunto de todos los elementos de U que no están en A y se denota como 'A . Esto es:

Diferencia

La diferencia de los conjuntos A y B (en ese orden) es el conjunto de los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B y se denota como A− B . Esto es:

Ejemplo

A={mango,ciruela,uva,naranja,manzana,sandia}

B={durazno,melón,uva,naranja,sandia,platano}

A-B={mango,ciruela,manzana}

B-A={durazno,melón,platano}

Conjunto Potencia y Subconjunto potencia

"El conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto"

Ejemplo: Si tenemos un conjunto {a,b,c}:

* Entonces un subconjunto podría ser {a} o {b}, o {a,c}, y así sucesivamente,

* y {a,b,c} es también un subconjunto {a,b,c}

* y y el conjunto vacío {} es también un subconjunto de {a,b,c}

Entonces todos los subconjuntos juntos harían el Conjunto Potencia:

P(S) = { {}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} }

Técnicas de conteos de conjuntos

El principio fundamental en el proceso de contar ofrece un método general para contar el número de posibles arreglos de objetos dentro de un solo conjunto o entre carios conjuntos. Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar.

Si un evento A puede ocurrir de n1 maneras y una vez que este ha ocurrido, otro evento B puede n2 maneras diferentes entonces, el número total de formas diferentes en que ambos eventos pueden ocurrir en el orden indicado, es igual a n1 x n2.

¿De cuántas maneras pueden repartirse 3 premios a un conjunto de 10 personas, suponiendo que cada persona no puede obtener más de un premio?

Aplicando el principio fundamental del conteo, tenemos 10 personas que pueden recibir el primer premio. Una vez que éste ha sido entregado, restan 9 personas para recibir el segundo, y posteriormente quedarán 8 personas para el tercer premio. De ahí que el número de maneras

distintas de repartir los tres premios.

n

10 x 9 x 8 = 720

¿Cuántas placas de automóvil se pueden hacer utilizando dos letras seguidas de tres cifras? No se admiten repeticiones.

26 x 25 x 10 x 9 x 8 = 468000

n un número entero positivo, el producto n (n-1) (n-2)...3 x 2 x 1 se llama factorial de n.

El símbolo! se lee factorial y es el producto resultante de todos los enteros positivos de 1 a n; es decir, sea

n

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

Por definición 0! = 1

Si el número de posibles resultados de un experimento es pequeño, es relativamente fácil listar y contar todos los posibles resultados. Al tirar un dado, por ejemplo, hay seis posibles resultados.

Si, sin embargo, hay un gran número de posibles resultados tales como el número de niños y niñas por familias con cinco hijos, sería tedioso listar y contar todas las posibilidades. Las posibilidades serían, 5 niños, 4 niños y 1 niña, 3 niños y 2 niñas, 2 niños y 3 niñas, etc.

Para facilitar el conteo examinaremos tres técnicas:

* La técnica de la multiplicación

* La técnica aditiva

* La técnica de la suma o Adición

* La técnica de la permutación

* La técnica de la combinación.

PRINCIPIO

...