Ley De Gauss
Enviado por mrflyale • 14 de Noviembre de 2014 • 1.517 Palabras (7 Páginas) • 323 Visitas
Ley de Gauss
La ley de Gauss relaciona el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada con la carga neta incluida dentro de la superficie. Esta ley permite calcular fácilmente los campos eléctricos que resultan de distribuciones simétricas de carga, tales como una corteza esférica o una línea infinita.
La figura izquierda muestra
una superficie de forma
arbitraria que incluye un
dipolo. El número de líneas
que salen de la carga es
exactamente igual al número
de líneas que entran en el
mismo recinto y terminan en
la carga negativa. Si contamos el número que sale como positivo y el número que entra como negativo, el número neto que sale o entra es cero. En otras distribuciones de carga, como ocurre en la figura derecha, el número neto de líneas que sale por cualquier superficie que encierra las cargas es proporcional a la carga encerrada dentro de dicha superficie. Este es un enunciado cualitativo de la ley de Gauss.
La magnitud matemática relacionada con el número de líneas de fuerza que atraviesa una superficie recibe el nombre de flujo eléctrico, cuya definición general es :
→→ Φ = ∫E⋅dA
Frecuentemente estamos interesados en conocer el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada, que viene dado por
→→ Φneto = ∫E⋅dA

La figura muestra una superficie esférica de radio R con su centro en la carga puntual Q. El campo eléctrico en un punto cualquiera de la superficie es perpendicular a la superficie y tiene la magnitud
E = kQ r2
El flujo neto a través de esta superficie esférica es
∫→→ → →∫ ∫ Φneto = E⋅dA =E//dA= EdA =E
dA =EA
en donde E ha salido de la integral por ser constante en todos los puntos. La integral de dA extendida a toda la superficie es precisamente el área total, igual a 4πR2 .
E = kQ
Sustituyendo R2 y A = 4πR2 se obtiene
Φ =kQ4πR2 =4kπQ neto R2
Idéntico resultado hubiéramos obtenido si la superficie fuese irregular. Si se trata de sistemas de más de una carga puntual como en la figura, el flujo neto a través de la superficie cerrada señalada es igual a
Φneto =4kπ(q1 +q2)
Es costumbre escribir la constante de Coulomb k en función de la permitividad
del vacío:
k=1 4πεo
de modo que la ley de Gauss se escribe
Φneto = Qdentro εo

Cálculo del campo eléctrico mediante la ley de Gauss
En algunas distribuciones de carga altamente simétricas, tales como una esfera uniformemente cargada o una línea infinita de carga, es posible determinar una superficie matemática que por simetría posee un campo eléctrico constante perpendicular a la superficie. A continuación puede evaluarse fácilmente el flujo eléctrico a través de esta superficie y utilizar la ley de Gauss para relacionar el campo eléctrico con la carga interior a la superficie. Una superficie utilizada para calcular el campo eléctrico mediante la ley de Gauss se denomina superficie gaussiana. En esta sección utilizaremos dicho método para calcular el campo eléctrico producido por diferentes distribuciones simétricas de carga.
Campo eléctrico E próximo a una carga puntual
• superficie gaussiana, elegimos una superficie esférica de radio r centrada en la carga.
• E es radial y su magnitud depende sólo de la distancia a la carga.
• E tiene el mismo valor en todos los puntos de nuestra superficie esférica.
El flujo neto a través de esta superficie es, pues,
∫→ → ∫ ∫ Φneto = Qdentro
Φ = E⋅dA= EdA=E dA=EA=E4πr2
neto
Pero la ley de Gauss nos da
εo Igualando obtenemos
E=1Q
4πε r2 o

Campo eléctrico E próximo a un plano infinito de carga
Densidad de carga uniforme σ
Por simetría el campo eléctrico debe:
• •
•
ser perpendicular al plano.
depender sólo de la distancia z del plano al punto del campo.
tener el mismo valor pero sentido opuesto en los puntos situados a la misma distancia por arriba y por debajo del plano
Escogemos como superficie gaussiana un cilindro en forma de “pastillero” y su base tiene un área A.
Como E es paralelo a la superficie cilíndrica, no existe flujo que la atraviese. Puesto que el flujo que sale por cada cara superior o inferior es EA, el flujo total es
∫→→∫→→∫→→
Φneto = E⋅dA= E⋅dA+ E ⋅dA=2EA+0=2EA
bases sup . lateral
Qdentro = σA
Φneto = Qdentro ⇒ 2EA = σA εo εo
La carga neta en el interior de la superficie es
A partir de la ley de Gauss
de donde
E=σ 2εo

Campo eléctrico E próximo a una carga lineal infinita
Densidaddecargauniforme λ. Por simetría el campo debe:
• ser perpendicular al hilo.
• depender sólo de la distancia r
del hilo al punto.
Tomamos como superficie gaussiana un cilindro de longitud L y radio r coaxial con la línea de carga.
El campo eléctrico es, por tanto, perpendicular a la superficie cilíndrica y posee el
mismo valor E, en cualquier punto de la superficie.
No hay flujo a través de las superficies planas de los extremos del cilindro,
→→ E⊥dA
El flujo eléctrico es, por tanto:
∫→ → ∫→ → ∫→ →
Φneto = E⋅dA = E⋅dA+ E ⋅dA = 0+ EAlateral = E2πrL
bases sup . lateral
igual al producto del campo eléctrico por el área de la superficie cilíndrica.
Qdentro = λL
Φneto = Qdentro ⇒ E2πrL = λL
Para usar la ley de Gauss es necesaria la
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