Logaritmos

Para aclarar lo que es un logaritmo veamos lo siguiente:

Como seguramente recuerdas, una potencia está formada por una base y un exponente. Por ejemplo, , cuyo resultado es 8. Pero ¿qué sucede si se conoce el resultado de la potencia y nos preguntan por el exponente?

Por ejemplo, ¿a qué exponente necesitamos elevar la base 2 para obtener 64? A ese exponente que buscamos para tener 64 lo llamamos logaritmo base 2 y lo escribimos En este caso el logaritmo es 6 ya que . Por ello, .

En general (donde N es un número positivo) significa que x es el exponente al que necesitamos elevar la base a para obtener la cantidad N; es decir: .

Como puedes ver, podemos escribir de dos maneras distintas (para cada base a>0) las relaciones que se dan entre el exponente y el resultado de la potencia. Es decir, las expresiones y nos dan la misma información y por ello son equivalentes. Utilicemos esas equivalencias para ver por qué la aplicación del logaritmo permite despejar el exponente.

ya que

, ya que

, ya que

Puedes ver que el exponente al que necesitas elevar a para obtener 1 es 0; en el segundo caso, el que requieres para que el resultado de la potencia sea a es 1. Finalmente, el exponente al que necesitas elevar a para tener a2, por supuesto que es 2.

En general el exponente al que se debe elevar la base a para tener ax es precisamente x. Esto se escribe en la forma logarítmica como:

Esta propiedad de los logaritmos es muy importante y es la que nos permite despejar al exponente en la forma exponencial. Veamos un ejemplo de base 10, cuando el exponente NO es entero y por ello no es fácil de encontrar: Suponte que tienes:

, ¿cuál es el valor de x?

Simplemente tomamos logaritmos base 10 de ambos lados de la ecuación y queda:

Si observas la parte izquierda, , tiene precisamente el formato de la propiedad que vimos, por ello, sólo nos queda x.

Así, la solución de la ecuación es:

Para tener el valor numérico, utilizamos la calculadora y obtenemos el resultado:

¡Y ya está!

Dos observaciones finales: Primero, debes de aplicar el logaritmo de la base que corresponde a la forma exponencial. Segundo, en el caso de logaritmo base 10, aunque nosotros recalcamos la base, se acostumbra escribir solamente log y en cuanto a los logaritmos con base e, su simbología es ln. Así es como verás las teclas respectivas en cualquier calculadora científica.

Un ejemplo más, ahora con base e. Queremos conocer el valor del exponente x en la siguiente ecuación:

Así, el exponente al que debemos elevar la base e para obtener 9.9772 es 2.3. ¡Compruébalo con la calculadora!

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