Mecanica-fisica
Enviado por efer007 • 9 de Noviembre de 2012 • 1.808 Palabras (8 Páginas) • 483 Visitas
Momento angular de una partícula
Se define momento angular de una partícula respecto de del punto O, como el producto vectorial del vector posición r por el vector momento lineal mv
L=rmv
Momento angular de un sólido rígido
Las partículas de un sólido rígido en rotación alrededor de un eje fijo describen circunferencias centradas en el eje de rotación con una velocidad que es proporcional al radio de la circunferencia que describen vi= •ri
En la figura, se muestra el vector momento angular Li de una partícula de masa mi cuya posición está dada por el vector ri y que describe una circunferencia de radio Ri con velocidad vi.
El módulo del vector momento angular vale Li=rimivi
Su proyección sobre el eje de rotación Z es
Liz=miviricos(90- i), es decir,
El momento angular de todas las partículas del sólido es
La proyección Lz del vector momento angular a lo largo del eje de rotación es
El término entre paréntesis se denomina momento de inercia
En general, el vector momento angular L no tiene la dirección del eje de rotación, es decir, el vector momento angular no coincide con su proyección Lz a lo largo del eje de rotación. Cuando coinciden se dice que el eje de rotación es un eje principal de inercia.
Para estos ejes existe una relación sencilla entre el momento angular y la velocidad angular, dos vectores que tienen la misma dirección, la del eje de rotación
L=I
El momento de inercia no es una cantidad característica como puede ser la masa o el volumen, sino que su valor depende de la posición del eje de rotación. El momento de inercia es mínimo cuando el eje de rotación pasa por el centro de masa.
Cuerpo Momento de inercia Ic
Varilla delgada de longitud L
Disco y cilindro de radio R
Esfera de radio R
Aro de radio R mR2
Teorema de Steiner
El teorema de Steiner es una fórmula que nos permite calcular el momento de inercia de un sólido rígido respecto de un eje de rotación que pasa por un punto O, cuando conocemos el momento de inercia respecto a un eje paralelo al anterior y que pasa por el centro de masas.
El momento de inercia del sólido respecto de un eje que pasa por O es
El momento de inercia respecto de un eje que pasa por C es
Para relacionar IO e IC hay que relacionar ri y Ri.
En la figura, tenemos que
El término intermedio en el segundo miembro es cero ya que obtenemos la posición xC del centro de masa desde el centro de masa.
Ejemplo
Sea una varilla de masa M y longitud L, que tiene dos esferas de masa m y radio r simétricamente dispuestas a una distancia d del eje de rotación que es perpendicular a la varilla y pasa por el punto medio de la misma.
Un péndulo consiste en una varilla de masa M y longitud L, y una lenteja de forma cilíndrica de masa m y radio r. El péndulo puede oscilar alrededor de un eje perpendicular a la varilla que pasa por su extremo O
Energía cinética de rotación
Las partículas del sólido describen circunferencias centradas en el eje de rotación con una velocidad que es proporcional al radio de la circunferencia que describen vi= •Ri . La energía cinética total es la suma de las energías cinéticas de cada una de las partículas. Esta suma se puede expresar de forma simple en términos del momento de inercia y la velocidad angular de rotación
Ecuación de la dinámica de rotación
Consideremos un sistema de partículas. Sobre cada partícula actúan las fuerzas exteriores al sistema y las fuerzas de interacción mutua entre las partículas del sistema. Supongamos un sistema formado por dos partículas. Sobre la partícula 1 actúa la fuerza exterior F1 y la fuerza que ejerce la partícula 2, F12. Sobre la partícula 2 actúa la fuerza exterior F2 y la fuerza que ejerce la partícula 1, F21.
Por ejemplo, si el sistema de partículas fuese el formado por la Tierra y la Luna: las fuerzas exteriores serían las que ejerce el Sol ( y el resto de los planetas) sobre la Tierra y sobre la Luna. Las fuerzas interiores serían la atracción mutua entre estos dos cuerpos celestes.
Para cada unas de las partículas se cumple que la variación del momento angular con el tiempo es igual al momento de la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula considerada.
Sumando miembro a miembro, aplicando la propiedad distributiva del producto vectorial, y teniendo en cuanta la tercera Ley de Newton, F12=-F21, tenemos que
Como los vectores r1-r2 y F12 son paralelos su producto vectorial es cero. Por lo que nos queda
La derivada del momento angular total del sistema de partículas con respecto del tiempo es igual al momento de las fuerzas exteriores que actúan sobre las partículas del sistema.
Consideremos ahora que el sistema de partículas es un sólido rígido que está girando alrededor de un eje principal de inercia, entonces el momento angular L=I•, la ecuación anterior la escribimos
Momento angular de un sistema de partículas
Consideremos el sistema de dos partículas de la figura anterior. El momento angular total del sistema respecto del origen es
L=r1 m1•v1+r2 m2•v2
Calculamos el momento angular respecto del centro de masas
r1cm=r1-rcm
r2cm=r2-rcm
v1cm=v1-vcm
v2cm=v2-vcm
El momento angular respecto del origen es la suma de dos contribuciones:
L=(r1cm+rcm) m1•(v1cm+vcm)+ (r2cm+rcm) m2•(v2cm+vcm)=
(r1cm m1•v1cm)+ (r2cm m2•v2cm)+ rcm (m1•v1cm+ m2•v2cm)+ (m1•r1cm+ m2•r2cm) vcm
De la definición de posición y velocidad del
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