Multiplos

[pic 1]                                        NIVEL SUPERIOR- DIEGEP N° 4322

SECUENCIA DIDÁCTICA DEL ÁREA DE MATEMÁTICA

Docentes: Karen Ansaldo y Macarena Romero.

Año: 5to Grado

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MARCO TEÓRICO

¿Qué son los múltiplos de un número?

Los múltiplos de un número son todos los posibles resultados de multiplicar ese número por todos y cada uno de los números naturales.  Así, los múltiplos del tres son: el cero, que es el resultado de multiplicar tres por cero: 3x0=0; el tres, que es el resultado de multiplicar tres por uno: 3x1=3; el seis que se obtiene al multiplicar tres por dos: 3x2=6 etc.

Como te podrás imaginar, el conjunto de los múltiplos de un número determinado (salvo el cero) es infinito, pues existen infinitos naturales para multiplicar.

Notaremos el conjunto de los múltiplos del número a por M(a).  En el caso del tres se tiene: M (3) = {0;3;6;9; 12..}.  En la siguiente imagen puedes observar otros ejemplos.

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Los múltiplos más famosos: los números pares.

Gracias al concepto de múltiplo es posible definir ahora un tipo especial de números: los pares.  Se dice que un número es par si es múltiplo del dos.  Así, los números 0,2,4,6,8, etc., son pares.

A los números naturales que no son pares los llamamos impares, se tiene entonces que 1,3,5,7,9 etc., son números impares.

Si llamamos P al conjunto de los pares, e I al de los impares, la unión P U I resulta igual al conjunto de números naturales o ℕ, y su intersección P n I es el conjunto vacío.

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Como dato curioso observa que estos dos conjuntos son el resultado de “partir” el conjunto de números naturales a la “mitad”.  Sin embargo, aunque son “mitades” de ℕ, siguen siendo conjuntos infinitos.  ¿Tendrán la mitad de los elementos de ℕ, siendo conjuntos también infinitos?

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Aunque parezca increíble, estos tres conjuntos tienen la misma cantidad de elementos.

Mínimo común múltiplo

El concepto de mínimo común múltiplo es imprescindible en la matemática, aprende qué es y cómo calcularlo aquí:

Múltiplos comunes

Para abordar el concepto de múltiplo común, tomaremos como ejemplo los múltiplos del 6 y el 9.  En la siguiente imagen los puedes observar:

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Si te fijas con atención notarás que estos conjuntos comparten algunos de sus elementos: 0,18 o 36 son algunos de ellos.  Se dice entonces que estos números son múltiplos comunes del seis y el nueve.

Para encontrar los múltiplos comunes se realiza la intersección de los conjuntos de múltiplos:

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Observa que el conjunto de múltiplos comunes de dos (o más) números puede ser infinito, por eso no tiene sentido hablar del mayor de ellos.  Es decir, no existe un máximo común múltiplo, pero si puedes encontrar el menor y es muy útil.

El mínimo común múltiplo

Se dice que el mínimo común múltiplo, M.C.M  de dos números naturales a y b es el menor de los múltiplos comunes a “a”  y “b” diferente de cero.  Notamos este número con el símbolo M.C.M(a, b).  En el caso del mínimo común múltiplo de 6 y 9 tenemos: M.CM(6,9).

Veamos otro ejemplo: ¿cuál será el m.c.m de 5 y 4?

Para averiguarlo hagamos la lista de los múltiplos de estos dos números, en la siguiente imagen los puedes apreciar.

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Observando estos conjuntos de múltiplos se puede observar que el menor de los comunes es 20.  Se concluye así que el mínimo común múltiplo de 4 y 5 es 20: M.C.M. (4,5) =20

Propiedades de los múltiplos

Comprende más el concepto de múltiplo a través de sus propiedades.

Relación entre los múltiplos y los divisores

Los conceptos de múltiplo y divisor están íntimamente ligados.  Recuerda que un número es divisor de otro si está contenido una cantidad entera de veces en él, por otra parte, un número es múltiplo de otro si lo contiene una cantidad entera de veces.

Para que te hagas una idea: piensa en la expresión 3X5=15.  Esta debe ser leída como “tres veces cinco es igual a quince”.  Es decir, cinco está contenido tres veces en quince, y a su vez quince contiene a cinco tres veces.

Según las definiciones de múltiplo y divisor se puede decir que 15 es múltiplo de 5, y al mismo tiempo que 5 es divisor de 15.

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En general se puede decir que, si “a” es divisor de “b”, entonces “b” es múltiplo de “a”.

Todo número es múltiplo de sí mismo

Como has podido observar, cada vez que calculamos los múltiplos de un número dado, encontramos que el mismo número está en la lista, por ejemplo:

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En general podemos decir que todo número “a” es múltiplo de sí mismo.  Usando el lenguaje de los conjuntos: a M (a).  En los ejemplos anteriores 4 M (4) y 7 M (7).[pic 12][pic 13][pic 14]

Cero es múltiplo de todos los números

Esta propiedad proviene del hecho que todo número multiplicado por cero da como resultado cero.0Xa=0, por lo tanto, será uno de sus múltiplos.  Se dice entonces que 0M(a) para todo número a.[pic 15]

Si un número es múltiplo de otros dos, también lo es de su suma  y de su diferencia

Ilustremos esta propiedad a través del siguiente ejemplo:40 y 16 son múltiplos de 8.  Al hacer la lista de los múltiplos de 8 se encuentra que 40+16=56 y 40-16=24 también lo son:

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Propiedad transitiva

Está propiedad se puede enunciar así: “si un número es múltiplo de otro, y este lo es de un tercero, entonces el primero es múltiplo del tercero”.  Como ejemplo usemos los números 45,15 y 5. 45 es múltiplo de 5, además 15 es múltiplo de 5. Esta propiedad dice que 45 debe ser múltiplo de 5:

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