OSCILACIONES. MOVIMIENTO ARMÓNICO
Enviado por RenzoTKD • 2 de Diciembre de 2013 • 3.160 Palabras (13 Páginas) • 244 Visitas
TEMA 1: OSCILACIONES. MOVIMIENTO ARMÓNICO.
1. Introducción.
Un sistema en equilibrio estable, si se perturba ligeramente de su
punto de equilibrio, realiza oscilaciones en torno a este punto. Las
oscilaciones tienen la característica de ser periódicas. Un movimiento se
denomina periódico, si a intervalos de tiempo iguales de valor T, se repiten
exactamente las características cinéticas y dinámicas del sistema. El tiempo
T recibe el nombre de período.
Debe diferenciarse el movimiento oscilatorio del movimiento
ondulatorio, aunque ambos está muy relacionados. Las ondas sonoras, por
ejemplo, se pueden producir mediante las vibraciones de un instrumento
musical. Un muelle o un péndulo, realizan un movimiento oscilatorio, al ser
desplazados de su punto de equilibrio, alrededor de este punto. Las ondas
sonoras, como perturbaciones del equilibrio de las moléculas de aire, se
propagan en el espacio, alejándose del punto en el que fueron producidas.
Ejemplos: Péndulos, cuerdas vocales, cuerdas de instrumentos musicales.
2. Movimiento armónico simple.
Es el caso más sencillo de movimiento oscilatorio o periódico. Puede
definirse de muchas maneras:
Diremos que el movimiento de un punto material es armónico simple cuando
está sometido a una fuerza restauradora, proporcional al desplazamiento de
su posición de equilibrio. Figura 14.1.
1 Las figuras han sido tomadas en su mayor parte, del libro de P. Tipler. Consúltese la bibliografia del curso.
Figura 14.11 Cuerpo unido a un muelle → Movimiento armónico. El
desplazamiento x es medido desde la posición de equilibrio, pudiendo ser
positivo o negativo.
Tema 1. Segundo Semestre. Oscilaciones. Movimiento Armónico. Física General
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Fx = − Kx Ley de Hooke
De la segunda ley de Newton deducimos:
x
m
k
dt
d x
a
dt
d x
F kx ma m 2
2
2
2
x = − = = → = = −
x. Ecuación diferencial de segundo orden.(Ecuación 1)
m
k
dt
d x
2
2
= −
Siempre que la aceleración de un objeto sea proporcional al
desplazamiento, en sentido opuesto, éste realiza un movimiento
armónico simple (m.v.a.s.).
• El tiempo necesario para realizar una oscilación completa es el
período T. La unidad en el sistema internacional es el segundo (s).
• La frecuencia f de las oscilaciones es la inversa del período, y se mide
en el sistema internacional (S.I.) en Hertz (que equivale a s-1):
T
f = 1
Demostraremos, mediante la interpretación geométrica del m.v.a.s.,
que el desplazamiento de un objeto, sometido a un m.v.a.s., obedece a una
ley sinusoidal (seno o coseno) de la forma:
2
x Acos( t ) A sin( t '), con '= +
= ω +δ = ω +δ δ δ π
Ecuación del movimiento armónico simple.(Ecuación 2)
Donde:
• El desplazamiento máximo A recibe el nombre de Amplitud de las oscilaciones,
• El argumento de la función sinusoidal se denomina fase: (ωt+δ). La fase
caracteriza unívocamente el estado dinámico del oscilador.
• La fase inicial es δ, es decir es la fase para t=0.
• El desplazamiento instantáneo del punto de equilibrio es x, que recibe el nombre
de elongación.
Un ciclo completo del movimiento conlleva obviamente, un
incremento en la fase de 2π y un incremento temporal de T, que es el
período→ Fase(t+T)=Fase(t) + 2π
ω
ω + + δ =ω + δ + π→ = π 2
(t T) t 2 T
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ω recibe el nombre de pulsación (o frecuencia angular) y se mide en
radianes por s-1.
La ecuación del m.a.s. puede ser escrita en función de la frecuencia f
del período T, tomando la forma siguiente:
= π + δ
T
2 t
x A cos
La constante de fase, y la elección de la función seno o coseno
depende de cual haya sido la definición del movimiento en el instante t=0,
que son las llamadas condiciones iniciales.
En la figura 14.5 se presentan las variaciones de las tres magnitudes
cinemáticas en el m.v.a.s, observándose que la elongación está desfasada
respecto a la velocidad en 90o y 180o respecto de la aceleración.
Figura 14.5 Desplazamiento,
velocidad y aceleración en el
m.v.a.s. Obsérvese el desfase entre
estas tres magnitudes.
2.1.-Demostración:
Queremos demostrar que la ecuación del movimiento (Ec. 2.) es
solución de la ecuación diferencial del movimiento (Ec. 1.)
Derivando dos veces la ecuación del movimiento (Ec. 2),
encontramos:
A cos( t ) x
dt
d x
dt
dv
a
A sin( t )
dt
dx
v
2 2
2
2
= = = −ω ω + δ = −ω
= = − ω ω + δ
que es exactamente la ecuación diferencial (Ec. 1), si se cumple que:
m
ω2 = k
Ejercicios de aplicación.
Tema 1. Segundo Semestre. Oscilaciones. Movimiento Armónico. Física General
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Una característica importante del m.a.s. es que su período (o
frecuencia) es independiente de la amplitud A del movimiento, como se
ilustra en la figura 14.4. Esta propiedad es importante en música, de modo
que el tono de las notas musicales es independiente de su intensidad.
3. Interpretación geométrica.
Una partícula se mueve sobre una circunferencia de radio A, con
velocidad angular ω constante; la velocidad lineal vale v = ωr. Queremos
demostrar que la proyección x de este punto sobre un diámetro fijo, realiza
un movimiento armónico simple. De la figura 14.5, deducimos:
θ = wt + δ
x = Acosθ = Acos(wt + δ) c.q.d.
El punto proyectado sobre un diámetro de una partícula que se mueve con
movimiento circular uniforme realiza un movimiento armónico simple.
La interpretación geométrica del m.v.a.s. da significado a la frecuencia
angular ω.
Figura 14.4 Ecuaciones horarias para
un muelle con distintas amplitudes.
Observad como los dos movimientos
llegan a sus posiciones de equilibrio
simultáneamente,
...