PROBABILIDAD

Unidad 4. Probabilidad

1. Introducción

Muchos de los eventos que ocurren en la vida diaria no pueden ser predichos con exactitud desde antes por diversas razones, pues la mayoría de los hechos están influidos por factores externos. Además, existen aquellos sucesos que están directamente influidos por el azar, es decir, por procesos que no se está seguro de lo que va a ocurrir. Sin embargo, la probabilidad nos permite acercarnos a esos sucesos y estudiarlos, ponderando las posibilidades de su ocurrencia y proporcionando métodos para tales ponderaciones.

Precisamente, algunos de esos métodos proporcionados por la probabilidad nos llevan a descubrir que algunos sucesos tienen una mayor o menor probabilidad de ocurrir que la ponderación asignada a través del sentido común. Nuestros sentidos, la información previa que poseemos, nuestras creencias o posturas, nuestras inclinaciones, son algunos de los factores que intervienen para no permitirnos hacer ponderaciones reales y sistemáticas. La probabilidad nos permitirá estudiar los eventos de una manera sistemática y más cercana a la realidad, retribuyéndonos con información más precisa y confiable y, por tanto, más útil para las disciplinas humanas.

Precisamente, un applet que muestra cómo no siempre la probabilidad que le asignamos a un evento a través del sentido común coincide con la probabilidad real obtenida por medios teóricos es el desarrollado por West y Street de la University of South Carolina, que permite estudiar un concurso de televisión de los 70's llamado Let's Make a Deal.

2. Análisis combinatorio

En ocasiones el trabajo de enumerar los posibles sucesos que ocurren en una situación dada se convierte en algo difícil de lograr o, simplemente, tedioso. El análisis combinatorio, o cálculo combinatorio, permite enumerar tales casos o sucesos y así obtener la probabilidad de eventos más complejos.

En el caso de que existan más de un suceso a observar, habría que contar el número de veces que pueden ocurrir todos los sucesos que se desean observar, para ello se utiliza el principio fundamental de conteo:

Si un suceso se puede presentar de n1 formas, y otro se puede presentar de n2 formas, entonces el número de formas en que ambos sucesos pueden presentarse en ese orden es de n1•n2.

En otras palabras, basta multiplicar el número de formas en que se pueden presentar cada uno de los sucesos a observar.

Este principio nos remite automáticamente al factorial de un número natural, que se puede pensar como una función con dominio los números naturales junto con el cero y codominio los números naturales. El factorial de un número n, denotado n!, se define como:

Ahora, n es muy grande el proceso de cálculo se vuelve tedioso y muy cargado, incluso para una computadora, por lo que se utiliza la aproximación de Stirling a n!:

donde e2.71828..., que es la base de los logaritmos neperianos.

En Excel existe la función FACT(n) que calcula el factorial de un número entero no negativo n.

En el análisis combinatorio se definen las permutaciones, con o sin repetición, y las combinaciones.

2.2 Permutaciones (u ordenaciones) con repetición

Las permutaciones son también conocidas como ordenaciones, y de hecho toman este nombre porque son ordenaciones de r objetos de n dados. En este curso las representaremos como ORnr ó nORr.

Por ejemplo: Sea A={a,b,c,d}, ¿cuántas "palabras" de dos letras se pueden obtener?

Se pide formar permutaciones u ordenaciones de 2 letras, cuando el total de letras es 4. En este caso r=2 y n=4.

Las "palabras" formadas son: aa, ab, ac, ad, ba, bb, bc, bd, ca, cb, cc, cd, da, db, dc, dd. En total son 16.

En general, si se toman r objetos de n, la cantidad de permutaciones u ordenaciones con repetición obtenidas son:

ORnr = nORr = n r

2.3 Permutaciones (u ordenaciones) sin repetición

En este caso, a diferencia del anterior, se realizan ordenaciones de r objetos de n dados atendiendo a la situación de cada objeto en la ordenación. Su representación será Pnr ó nPr.

Por ejemplo: Sea el mismo conjunto A={a,b,c,d}, ¿cuántas ordenaciones sin repetición se pueden obtener?

Lo que resulta es: ab, ac, ad, ba, bc, bd, ca, cb, cd, da, db, dc. Son 12 en total.

En general, si se toman r objetos de un total de n, la cantidad de permutaciones

Pnr = nPr =

El Excel cuenta con la función PERMUTACIONES(n,r) que realiza el cálculo.

2.4 Combinaciones

Es una selección de r objetos de n dados sin atender a la ordenación de los mismos. Es decir, es la obtención de subcojuntos, de r elementos cada uno, a partir de un conjunto inicial de n elementos. La denotaremos con Cnr, nCr ó .

Por ejemplo: Si tomamos el mismo conjunto A={a,b,c,d}, ¿cuántos subconjuntos de 2 elementos cada uno se pueden obtener?

Haciéndolos se obtienen: {a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d}, {c,d}. Son seis los subconjuntos.

En general, si de n objetos dados se hacen combinaciones de r objetos cada una, el número de combinaciones obtenidas son:

Cnr = nCr =

o, que es lo mismo,

Cnr = nCr =

En Excel la función COMBINAT(n,r) calcula las combinaciones de n objetos tomando r de ellos.

3. Eventos

Cuando se realiza un experimento, que es cualquier proceso que produce un resultado o una observación, se van a obtener un conjunto de valores. A este conjunto de valores que puede tomar una variable se le denomina espacio muestral.

Por ejemplo: Si se tiene un dado cualquiera, el espacio muestral (EM) es EM={1,2,3,4,5,6}.

Si existen más de una variable, el espacio muestral está formado por las combinaciones de valores de cada una de las variables.

Si tomamos un subconjunto cualquiera del espacio muestral tenemos lo que se denomina un evento, y si éste consta de un solo elemento entonces es un evento elemental.

Como se puede uno imaginar, existen eventos que siempre, no importa el número de experimentos o su situación, ocurren, y en cambio existen otros que nunca ocurren. Los que siempre ocurren son los eventos seguros, y los que nunca son los eventos imposibles.

Sin embargo, no todos los resultados son al azar, pues si un experimento es cualquier proceso entonces los resultados pueden tomar cualquier tipo de valor. Por esta razón, se define como experimento aleatorio al proceso en el que se pueden predecir con certeza la ocurrencia

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