Runge Kutta

APLICACIÓN DEL METODO DE RUNGE KUTTA DE SEGUNDO ORDEN, A UNA ECUACION DIFERENCIAL ORDINARIA DE SEGUNDO ORDEN.

Consideremos la ecuación diferencial de segundo orden:

u’’+au’ +bu=q(t), u(0)=1,u’(0)=0

donde a, b y q son constantes o funciones de t, u y u’. si definimos:

v(t)=u’(t)

Podemos reducir la ecuación anterior a un conjunto de ecuaciones diferenciales de primer orden acopladas:

u’= f(u,v,t)=v, u(0)=1

v’=g(u,v,t)=-av-bu+q , v(0)=0

método de Runge kutta

k1=hf(un,vn,tn)=hvn

m1=hg(un,vn,tn)=h(-avnbun+q)

k2=hf(un+k1 , vn+m1 ,tn+1)=h(vn+m1)

m2=hg(un+k1 , vn+m1 ,tn+1)

…=h(-a(vn+m1)-b(un+k1)+qn+1)

un+1=un+(1/2)(k1+k2)

vn+1=vn+1/2)(m1+m2)

PROBLEMA: Una caja rectangular de masa M=0.5kg se fija al extremo inferior de un sistema de resorte-amortiguador sin masa, como se ilustra en la figura el extremo superior del resorte se fija a una estructura en reposo. El amortiguador ejerce una fuerza de R=-Bdu/dt sobre la caja, donde B es la constante de amortiguación. La ecuación del movimiento es:

Mu’’+ Bu’ +Ku = 0, u(0)=1, u’(0)=0…………………………………………………(A)

Donde u es el desplazamiento respecto de la posición estática, k es la constante del resorte, igual a 100N/m, y B=10Ns/m.

¿Calcule u(t) para 0<t<=0.05 s y realizando el método de Runge-kutta De segundo orden con h=0.025 s y realizando los cálculos a mano.

Figura sistema de resorte-masa

SOLUCIÓN

Primero identificamos las variables:

u= desplazamiento (m)

v=velocidad (m/s)

k=constante de deformación

La ecuación (A) puede escribirse así:

u’ =f=v, u(0)=1

v’=g=-(B/M)v- (k/M)u, v(0)=0

si sustituimos a= B/M=20 y b=k/M=200, el método de Runge-kutta de segundo orden para la ecuación (A), en la forma de la ecuación 10.3.14, se convierte en:

ecuación 10.3.14

k1=hf(un,tn)

k2=hf(un+ k1,tn+1)

yn+1=yn+(1/2)(k1+k2)

t=0,

u0=u(0)=1

v0=u’(0)=0

t=0.025,

k1=hf(u0,v0,f0)=hv0=0.025(0)=0

m1=hg(u0,v0,f0)=h(-20v0-200u0)

m1=0.025(-20(0)-200(1))=-5

K2= hf(u0+k1,v0+ m1,t1)=h(v0+ m1)

K2 =0.025(0-5)=-0.125

m2 =hg(u0+ k1, v0+ m1, t1)

m2 =h[-20(v0+ m1)-200(u0+k1)]

m2 =0.025[-20(0-5)-200(1+0)]=-2.5

u1= u0+(1/2)(0-0.125)=0.9375

v1= v0+(1/2)(-5-2.5)=-3.75

t=0.05,

k1=hf(u1,v1,t1)=h v1=0.025(-3.75)=-0.09375

m1= hg(u1,v1,t1)=h(-20v1-200u1)

m1 =0.025[-20(-3.75)-200(0.9375)]=-2.8125

K2= hf(u1+k1,v1+ m1,t2)=h(v1+m1)

K2 =0.025(-3.75-2.8125)=-0.16406

m2 =hg(u1+k1,v1+m1,t2)

...