Solidos de Revolucion

EJERCICIOS 14

PROBLEMA 1

• Un fabricante taladra un orificio a través del centro de una esfera de metal de 5 pulgadas de radio. El orificio tiene un radio de 3 pulgadas.

¿Cuál es el volumen del objeto de metal resultante?

• El perfil que necesito para generar dicha esfera es un semicírculo, el cual como en el enunciado del ejercicio dice, será de 5 plg de radio, notamos que no nos dice sobre que eje girará el perfil ni sobre que limites integraremos, por lo tanto los calcularemos nosotros.

𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2

52 = 𝑥2 + 𝑦2

𝑦2        = 25 − 𝑥2

Esta es la ecuación que determina el semicírculo

𝑌 =[pic 1][pic 2]

• Y los limites de integración los determinamos igualando la recta y=3 y la función f(x), entonces

F(x)=

[pic 3]

F(x)=g(x)

,        G(x)=3

= 3[pic 4][pic 5][pic 6]

Calculamos el valor de x, y tenemos dos valores que serán

los limites de integración

X1=-4 X2=4

• Además el ejercicio nos dice que tenemos que barrenar (perforar) la esfera en su centro, y que dicho barreno tiene radio de 3 plg, por lo tanto la función que me genera el barreno es y=3 o g(x)=3[pic 7]

[pic 8][pic 9]

Aquí vemos que los limites son Las intersecciones x1=-4, x2=4[pic 10]

Aquí vemos la región que requerimos[pic 11]

Rotar alrededor del eje x

• Este        volumen        lo determinaremos mediante el método de arandelas, debido a que tenemos dos radios R(x) (radio superior) y r(x) (radio inferior), como vemos en la figura.[pic 12]

Construimos la integral y resolvemos

[pic 13]

Y este es el sólido generado

[pic 14][pic 15]

PROBLEMA 2

• Calcula el volumen del sólido generado al girar alrededor de la recta x= 1 y la región limitada por la curva        𝑥 − 1        2 = 20 − 4𝑦 y las rectas[pic 16]

𝑥 = 1, 𝑦 = 1, 𝑦 = 3 y a la derecha de 𝑥 = 1

Como la generación del sólido es con respecto a una recta (x=1) la cual es paralela al eje y, los limites de integración tienen que estar en y, los cuales el ejercicio ya nos los proporciona mediante las rectas y=1, y=3. entonces la función que requerimos es una función f(y) la cual muestro a continuación.[pic 17]

x − 1 2 = 20 − 4y[pic 18]

F(y)=        + 1

Graficamos en geogebra la ecuación

2 = 20 − 4y

tal como está, además las rectas que también nos da el ejercicio[pic 19]

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