Sumatoria

Generalidades

Por sumatoria se entiende la suma de un conjunto finito de números, que se denota como sigue:

donde:

S: magnitud resultante de la suma.

T: cantidad de valores a sumar.

k: índice de la suma, que varía entre h y h+t

h: punto inicial de la sumatoria

h+t: punto final de la sumatoria

nk: valor de la magnitud objeto de suma en el punto k

Un tipo particular de sumatoria de gran importancia lo es el caso cuando t→ ∞, que se conoce como serie y se representa de la manera siguiente:

Considerando la amplitud que reviste el análisis de las series, este tema no será abordado en este trabajo.

III. Propiedades de las sumatorias

Entre las propiedades generales de las sumatorias reportadas en la literatura se encuentra las once que se relacionan a continuación, cuya demostración se realiza utilizando el procedimiento matemático de Inducción Completa.

III.1 Reportadas en la literatura

Propiedad #1:

Propiedad #2:

Propiedad #3:

Propiedad #4:

Propiedad #5:

Propiedad #6:

Propiedad #7:

Propiedad #8:

Propiedad #9:

Propiedad #10:

Propiedad #11:

III.2 Obtenidas en este trabajo

En la práctica existen múltiples problemas cuya solución conduce al cálculo de sumatorias que cumplen con requisitos especiales, como es el caso de la solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales resultante para la determinación de las derivadas de funciones con intervalo de variación uniforme de la variable dependiente; los problemas que exhiben simetría, etc., bajo cuyas condiciones es posible obtener expresiones útiles de trabajo, que simplifican las operaciones a realizar, entre las que pueden señalarse las que se deducen a continuación.

III.2.1 Considerando simetría en el recorrido del índice de la suma

Una condición que trata de utilizarse siempre que sea posible, ya que simplifica los cálculos en los modelos de fenómenos o procesos, es la simetría, la que en términos de las sumatorias esta característica se corresponde con la variación del índice de la suma en el intervalo como se indica a continuación:

Bajo esta hipótesis de trabajo, es posible obtener el conjunto de propiedades que se demuestran a continuación.

Propiedad #1:

Demostración:

Propiedad #2:

Demostración:

Propiedad #3:

Propiedad #4:

Propiedad #5:

II.2.2 Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales con variable independiente de la forma x ± kD x

Una aplicación en la cual las sumatorias simétricas adoptan un término interesante es el caso de la obtención de expresiones analíticas por el cálculo de las derivadas de funciones de variable discreta, en el cual es común trabajar con términos de la forma elevado a una cierta potencia. A continuación se deducen cinco propiedades de gran utilidad práctica.

Propiedad #1: Cálculo de

Propiedad #2: Cálculo de

Propiedad #3: Cálculo de

Propiedad #4: Cálculo de

Propiedad #5: Cálculo de

Propiedad #6: Cálculo de

IV. Conclusiones

Como conclusión de este trabajo puede señalarse que se relacionan un conjunto de propiedades de las sumatorias descritas en la literatura, a partir de las cuales se dedujeron diversas propiedades, que son de particular utilidad para el cálculo de los determinantes asociados a la solución del Sistema de Ecuaciones Lineales resultante del planteamiento del problema de obtención de expresiones analíticas para el cálculo de la derivada de funciones de variable discreta.

Distribución de frecuencia

Profesor de Control de Calidad y Estadística del Inacap

A mis alumnos

El presente trabajo tiene como finalidad dar un amplio panorama de las técnicas estadísticas aplicadas al Control de Calidad e informar adecuadamente de las técnicas de Gestión aplicadas al Control de Calidad.

Considero importante advertir a mis alumnos que ambas partes, las Técnicas Estadísticas y la Gestión son complementarias y de ninguna manera son reemplazables una por la otra. No es posible edificar una buena Gestión de Calidad si no se han implementado primero las técnicas de Control de Calidad Estadístico, como tampoco es posible lograr una buena Gestión de la Calidad solo con las Técnicas Estadísticas. Ambas son vitales y necesarias, ambas son el objetivo primordial de todo Técnico e Ingeniero de Calidad que se aprecie de profesional.

Los conceptos y conocimientos que se resumen en este estudio son suficientes para que, llevadas a cabo, produzcan excelentes resultados en empresas de tipo industrial.

Este trabajo es de apoyo a las clases de Control de Calidad que se realizan en distintas carreras de Inacap, como Analistas Químicos, Ingenieros de Proyectos Industriales, etc. Por esta razón, algunos temas, solo son mencionados y necesariamente se desarrollan en clase.

El autor

Parte 1: Control de Calidad Estadístico

1 Los defectos

1.1 Introducción.

1.2 Definición de la calidad

1.3 El objetivo de los métodos estadísticos de control en los procesos.

1.4 ¿Qué causa los productos defectuosos?

1.5 ¿Son todos los defectos iguales? ¿Debemos tratar a todos los defectos por igual?

1.6 Clasificación de los defectos, muestrario de defectos.

2 Distribuciones de frecuencia e histogramas

2.1 Población y muestras

2.2 ¿Cómo se distribuye los valores de las variables que medimos? ¿Qué frecuencia tiene cada valor que la causa llamada "variación" nos entrega?

2.3 ¿Que tipos de variables conocemos?

2.4 Distribuciones de frecuencias.

2.5 Histogramas

3 Medidores de tendencia central y de dispersión

3.1 Media aritmética

3.2 Desviación típica

3.3 Método de cálculo por compilación

3.4 Ejercicios prácticos en clases

4 Distribución Continua, o Distribución Gaussiana, o Distribución Normal

4.1 Comprensión del concepto de Distribución Continua, Distribución Normal

4.2 Propiedades de la Distribución Normal

4.3 Ejercicios de comprensión sobre la Distribución Normal

5 Los diagramas

5.1 El diagrama de Pareto

5.1.1 ¿Qué son los diagramas de Pareto?

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