TRABAJO COLAVORATIVO 1 CALCULO INTEGRAL.

Introducción

El presente trabajo se entrega como evidencia de los conocimientos y destrezas adquiridas en el estudio de la segunda unidad del curso de cálculo integral, mediante el desarrollo de ejercicios buscando la respuesta correcta al planteamiento del problema, dejando evidencia de la metodología aplicada para su desarrollo, en esta se trabajan los diferentes métodos de integración.

Tabla de respuestas:

NUMERAL ECUACION RESPUESTA

7. La solución de la siguiente integral definida: ∫_1^3▒〖r^2*ln⁡(r) 〗 A

8. La solución de la siguiente integral definida:

9. La solución de la siguiente integral sen^2 (x)cos⁡(x)dx B

10. La solución de la siguientes integral, mediante el método de fracciones ∫((3x^2-2))/(x^2-2x-8) dx

B

6. Realice un (1) ejercicio de libre escogencia solucionado paso a paso para cada uno de las siguientes lecciones.

Lección 17: Integrales impropias con límites de integración infinitos

∫_0^1▒lnx/√x⁡dx = reescribiendo queda 〖lim〗┬(t→0+)⁡〖∫_t^1▒lnx/√x⁡dx ^ 〗

∫▒(lim⁡x )(x^(-1/2) ) dx u=lnx=>du=1/x dx=> du=1^(1/2) dx=>v=2x^(1/2)

2x^(1/2)*lnx-∫▒〖2x^(1/2)*1/x dx=2√x〗*lnx-2∫▒〖x^(1/2) dx=>..〗

..=2√x*lnx-2(2x^(1/2) )=2√x*lnx-4√x

〖〖lim〗┬(t→0+) 2√x*lnx-4√x〗_t^1

〖lim〗┬(t→0+)-4-(2-√t*lnt-4√t)= 〖lim〗┬(t→0+)-4-2√t*lnt+4√t

〖lim〗┬(t→0+)-4-(2-√t*lnt-4√t)= 〖lim〗┬(t→0+)-4-2√t*lnt+4√t=-4 por lo que converge

Lección 23: Integrales por sustitución trigonométrica caso II

Lección 29: Integración de la función trigonométrica

∫▒〖〖sen〗^3 x〖cos〗^2 xdx〗

∫▒〖〖sen〗^2 xsenx〗 〖cos〗^2 xdx=∫▒〖(1-〖cos〗^2 x〗)senx〖cos〗^2 xdx=

∫▒〖(1-〖cos〗^2 x)senx〖cos〗^2 xdx〗=∫▒sen x〖cos〗^2 xdx-∫▒〖senx〖cos〗^4 xdx〗

Sea

U=cosx du=-senxdx

∫▒sen x〖cos〗^2 xdx-∫▒〖senx〖cos〗^4 xdx〗=∫▒〖u^2 du〗+∫▒〖u^4 du〗=

(-u^3)/3+u^5/5+c=-(〖cos〗^3 x)/3+(〖cos〗^5 x)/5+c

Respuesta

∫▒〖〖sen〗^3 x〖cos〗^2 xdx〗=-(〖cos〗^3 x)/3+(〖cos〗^5 x)/5+c

7. La solución de la siguiente integral definida

∫_1^3▒〖r^2*ln⁡(r) 〗

u*v-∫▒〖v*du〗

u=ln⁡(r)=>du=r^4

v=r^5/5

dv=r^4

∫▒〖r^4 ln⁡(r)du〗

u=ln⁡(r)=>du/dr=1/r

∫▒〖dx=1〗

v=∫▒〖r^4 dr=r^5/5〗=v

v=∫▒〖r^4 dr=r^5/5〗=>v=r^5/5

∫▒r^4/5*dr=r/5*r^5/5=r^5/25

...