Teorema De Los Residuos.
Enviado por Oppyciento • 21 de Julio de 2011 • 8.005 Palabras (33 Páginas) • 1.509 Visitas
Teorema de los residuos.
Aplicaciones.
9.1 INTRODUCCIO´ N
Del teorema de los residuos puede decirse que es la culminaci´on de lo que hemos
encuadrado bajo el nombre gen´erico de ‘teor´ıa global de Cauchy’. Incorpora y
extiende al teorema de Cauchy y a la f´ormula de Cauchy, y tiene innumerables
consecuencias te´oricas y pr´acticas. De ´estas apuntamos su uso para calcular integrales
reales y sumas de series, limit´andonos a se˜nalar referencias donde encontrar
el tema desarrollado en detalle.
La primera aplicaci´on te´orica que presentamos se refiere a la localizaci´on
de ceros, en la que tratamos de averiguar el n´umero de ceros de una funci´on en
un subconjunto de su dominio. Los resultados b´asicos en esta direcci´on son el
denominado principio del argumento y el teorema de Rouch´e.
De aqu´ı pasamos al estudio del comportamiento local de una funci´on anal´ıtica,
viendo su analog´ıa con el de la funci´on zm en torno al 0, en el sentido que se
precisa en el texto. Deducimos el teorema de la aplicaci´on abierta y alguna de
sus aplicaciones, y finalizamos el cap´ıtulo con una versi´on global y otra local del
teorema de la funci´on inversa, llegando a una representaci´on integral de esta inversa
que nos permite obtener expresiones interesantes de su desarrollo en serie de Taylor.
Referencias b´asicas:
— Conway, J. B.: Functions of One Complex Variable. (2nd ed.) Springer, New
York (1978).
— Mitrinovi´c, D. S.: Calculus of Residues. Noordhoff, Groningen (1966).
— Palka, B. P.: An Introduction to Complex Function Theory. Springer, New
York (1991).
— Rudin, W.: An´alisis real y complejo. (3a. ed.) McGraw-Hill/Interamericana,
Madrid (1987).
134
Teorema de los residuos. Aplicaciones. 135
9.2 PRO´ LOGO: RESIDUOS
Agazapada en el teorema de Laurent hay una informaci´on importante. Por lo que
vimos en su demostraci´on, se deduce que si f tiene una singularidad aislada en a,
γ
f (z) dz = 2πi a−1,
donde a−1 es el coeficiente de (z − a)
−1 en el desarrollo en serie de Laurent de
f y γ = ∂D(a; r ), r adecuado. Este coeficiente (salvo el factor habitual 2πi )
es, pues, “el ´unico vestigio”, el residuo que deja la funci´on al ser integrada sobre
una “peque˜na” circunferencia centrada en a. Vamos a asignarle oficialmente este
nombre.
Definici´on 9.1. Sea a ∈ C una singularidad aislada de una funci´on f . Recibe el
nombre de residuo de f en a el coeficiente de 1/(z − a) en el desarrollo en serie
de Laurent de f en el punto a, de manera que si
f (z) =
∞
n=−∞
an(z − a)n, z ∈ D(a; 0, R),
y denotamos con Res( f ; a) el residuo de f en a, es
Res( f ; a) = a−1.
En el punto del infinito la definici´on es ligeramente distinta:
Sea f una funci´on con una singularidad aislada en∞, y sea
f (z) =
∞
n=−∞
an zn
su desarrollo en serie de Laurent en una corona D(0; R,+∞). Llamaremos
residuo de f en el infinito al n´umero
Res( f;∞) = −a−1
(coeficiente de 1/z en el desarrollo, cambiado de signo).
¿Qu´e hace merecedor de un nombre especial a este coeficiente? De momento,
sabemos que su valor es lo ´unico que necesitamos conocer a la hora de calcular la
integral de f sobre la circunferencia γ . Pero con este punto de partida y un poco de
i
–i
–2 –1 1 2
136 Teorema de los residuos. Aplicaciones.
ingenio podemos servirnos de los residuos para calcular integrales en situaciones
m´as complicadas.
Supongamos, por ejemplo, que nos proponemos calcular una integral como
Log(z + 2) z3 ctg πz
(1 − cos 2πz) (z2 + 1)
dz,
donde es el ciclo contenido en = D(0; 2) formado por los caminos que se
indican en la figura.
Horrible, ¿no es cierto? “¿Qu´e
es lo mejor que podemos hacer para
resolver este problema? Dejarlo e
inventar otro”, como recomienda el
“profesor tradicional de matem´aticas”
en el retrato que de ´el hace P´olya.
Vamos a ello.
Seg´un hemos se˜nalado antes, tras
calcular los residuos en los puntos
z1 = 1, z2 = i , z3 = −1, z4 = −i
de la funci´on f (z) a integrar, tarea
no extremadamente dif´ıcil, ser´ıamos
capaces de hallar la integral en el caso m´as sencillo de que constase de una
circunferencia γ o
j
= ∂D(zj ; rj ) alrededor de uno de los puntos zj, suficientemente
peque˜na para que el disco cerrado D(zj ; rj ) quede dentro de y no incluya a
ninguno de los restantes puntos zk , k = j , obteniendo entonces
γ o
j
f (z) dz = 2πi Res( f ; zj ).
Pero ´esto ¿de qu´e sirve? De mucho . . . cuando caemos en la cuenta de que el
teorema homol´ogico de Cauchy permite sustituir oportunamente el ciclo original
por otro ciclo formado por circunferencias, con tal de que ambos sean hom´ologos
respecto de un abierto en el que f sea holomorfa. Notando que
Ind(z1) = 1, Ind(z2) = 2, Ind(z3) = −1, Ind(z4) = 0,
i
–i
–2 –1 1 2
γ2o
γ3
o
γ1
o
i
–i
–2 –1 1 2
γ2o
γ3
o
γ1
o
Teorema de los residuos. Aplicaciones. 137
podemos “fabricar” un ciclo hom´ologo a respecto de \{z1, z2, z3, z4} tomando
0 = 1 ∪ 2 ∪ 3, donde
1 = [γ o
1 ], 2 = [γ o
2 , γ o
2 ], 3 = [−γ o
3 ],
y γ o
j (1 ≤ j ≤ 3) son circunferencias elegidas como antes. Con ´esto
f =
0
f =
γ o
1
f + 2
γ o
2
f −
γ o
3
f
= 2πi (Res( f ; z1) + 2 Res( f ; z2) − Res( f ; z3) + 0 · Res( f ; z4))
= 2πi
4
j=1
Ind(zj ) Res( f ; zj ).
Estos son los ingredientes esenciales de la demostraci´on general del teorema de los
residuos, que se expone en el siguiente apartado.
9.3 EL TEOREMA DE LOS RESIDUOS
Teorema 9.2. (Teorema de los residuos). Sea un abierto
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