Series Numericas
Enviado por yarcon120 • 18 de Abril de 2015 • 5.884 Palabras (24 Páginas) • 284 Visitas
EJERCICIOS RESUELTOS:
Series numéricas
Matemáticas
1
1
Elena Álvarez Sáiz
Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación
Universidad de Cantabria
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
Ejercicios: Series numéricas
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
2
1 Calcular la suma de las siguientes series:
(a)
2 3 4
1 1 1 1 1
4 ... ...
2 2 2 2 2n
+ − + + + + + (b)
3 2
1
3 2
n 3 2
n
n n n
=
+
+ +
Solución:
(a)
2
1
1 2 4 4
2 1
1
2
+ − + = +
−
(b) Descomponiendo en fracciones simples
3 2
3 2 1 1 2
3 2 1 2
n
n n n n n n
+
= + −
+ + + +
1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2
1 ... ... ...
2 3 2 3 1 3 4 1 2
1 1 1 2 2 1 2
1 2
2 2 1 1 2 1 2
n S
n n n n n n
n n n n n
= + + + + + + + + + − + + + + + =
+
+ +
= + + + − + = − −
+
+ + + +
1 2
lim 2 2
n 1 2
S
n n
= − − =
+ +
2
Dada la serie
n 1
n
=
. Se pide:
• Determina su carácter
• Encuentra una sucesión sencilla del mismo orden que la sucesión de sus sumas parciales.
Justificar los pasos seguidos.
• Demuestra que la sucesión obtenida en el apartado anterior es del mismo orden que su suma
parcial n-ésima.
Profesora: Elena Álvarez Sáiz S
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
Ejercicios: Series numéricas
3
Indicación: Utilizar que si la función es creciente y positiva en 1,) se verifica
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
n n n
k
f x dx f k f x dx f n
=
< < +
Forma 1:
En general para una función f decreciente y positiva en (1,) la sucesión ( )
1
n
k
f k
=
es
del mismo orden que ( )
1
n
f x dx .
Si la función f es creciente se verifica
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
n n n
k
f x dx f k f x dx f n
=
< < +
En este caso f (x ) = x es creciente por lo que:
( 3/2 ) ( ) 3/2 1/2
1 1 1
2 2
1
3 3
n n n
k
n xdx S n k xdx n n n
=
− = < = < + = +
Como el infinito n3/2 es de orden superior a n1/2 se tiene que:
( ) 2 3/2
3
S n n
En efecto,
( )
( ) 3/2 3/2 3/2 3/2
3 1 2 3 ... 3
lim lim lim
2 1 2 1
3
n n Stolz n
S n n n
n n n n
+ + + +
= =
− −
( ( ) )
( )
3/2 3/2
3 3
1
3
lim
2 1 Multiplicando n
por el conjugado
n n n
n n
+ −
= =
− −
( )
( ) 2
3/2
2 3/2 1/2
3 3 2 2
1
1 1
3 1 3
lim lim 1
2 n 3 3 1 Dividiendo 2 n 3 3 1
por n
n n n n
n n n n n n
+ − + +
= = =
− − + − − +
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
Ejercicios: Series numéricas
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
4
Luego son asintóticamente equivalentes.
Forma 2:
Basta considerar la equivalencia:
1
1 2 3 ...
1
k
k k k k n
n
k
+
+ + + +
+
En nuestro caso
1
2
k = .
3
Determinar la suma parcial enésima que permite calcular
( )3
1
1
n 2n 1
= +
con un error menor
que 10−2
Solución:
Consideramos la serie
( )3/2
1
1
n 2 1
S
n
=
=
+
que es convergente (por comparación con la
serie armónica generalizada:
1
1
p
n n
=
con p=3/2>1) y n S la suma parcial n-ésima de
la serie.
Teniendo en cuenta que ( )
( )3/2
1
2 1
f x
x
=
+
es decreciente y positiva en 1,) se
cumple
( ) ( )
( ) ( ) 3/2 3/2
1
1 1
... lim
2 3 2 5
h
n
h
k n n
S S f k f x dx
n n
= +
− = + + =
+ +
Como
Profesora: Elena Álvarez Sáiz S
Ingeniería de Telecomunicación
Fundamentos Matemáticos I
Ejercicios: Series numéricas
5
( )
( )3/2 ( ) ( )
1 1 1 1
lim lim lim
2 1 2 1 2 1 2 1
h h
h h h
n n
f x dx dx
x h n n
= = − + =
+ + + +
Por lo tanto, el error al considerar como suma de la serie la suma parcial n-ésima
está acotado por
1
2 1
n error S S
n
= −
+
Si queremos ahora que este error sea menor que una centésima basta encontrar el
valor de n cumpliendo: 4
2
1 1 9999
10 2 1
2 1 10 2
n n
n
< < + <
+
. Basta tomar
entonces los 5000 primeros sumandos
( )
5000
5000 3/2
1
1
n 2 1
S S
= n
=
+
4
Utilizando el criterio integral demuestra que la serie
1
n
n
r
=
es convergente para valores
0 < r < 1 .
Solución:
Vamos a acotar la sucesión de sumas parciales por dos sucesiones convergentes.
En este caso la función
...