MODELOS DE TRANSPORTE

1. Modelos de Transporte, Asignación y Transbordo

Los problemas de transporte, asignación y transbordo corresponden a una clase especial de problemas de programación lineal conocida como problemas de flujo de red. Estos problemas tienen una estructura matemática que ha permitido que los científicos de la administración desarrollen para su solución eficientes procedimientos especializados; como resultado, incluso problemas grandes pueden resolver con apenas unos cuantos segundo de tiempo de computadora.

1.1 Modelo de Transporte

EL MODELO DE RED Y UNA FORMULACION DE PROGRAMACION LINEAL

El problema de transporte frecuentemente se presenta al planear la distribución de bienes y servicios desde varias localizaciones hacia varas ubicaciones de la demanda. Típicamente, la cantidad de los bienes disponibles en cada localización de suministro (origen) es limitada, y la cantidad de los bienes necesarios en cada una de las localizaciones de demanda (Destino) es conocida. Por lo general, en un problema de transporte, el objetivo es minimizar el costo de embarcar los bienes desde los orígenes hasta los destinos.

Ilustremos lo anterior, considerando un problema de transporte al que se enfrenta la corporación XYZ. Este problema involucra el transporte de un producto desde tres plantas hasta cuatro centros de distribución. XYZ tiene plantas en Quito, Lima y Santiago. La capacidad de producción para el siguiente período de tres meses de planeación para un tipo específico de generador es como sigue:

Origen Planta Capacidad de producción

de tres meses (unidades)

1 Quito 5 000

2 Lima 6 000

3 Santiago 2 500

Total 13 500

La empresa distribuye sus generadores a través de cuatro regionales de distribución, localizados en Buenos Aires, Río de Janeiro, Bogotá y Caracas; el pronóstico de la demanda de tres meses de los centros de distribución es como sigue:

Destino Mercado Pronóstico de demanda

a tres meses (unidades)

1 Buenos Aires 6 000

2 Río de Janeiro 4 000

3 Bogotá 2 000

4 Caracas 1 500

Total 13 500

La administración desearía determinar cuánto de su producción deberá embarcarse desde cada una de las plantas hasta cada uno de los centros de distribución. La figura siguiente muestra de manera gráfica las 12 rutas de distribución que XYZ puede utilizar. Esta gráfica se conoce como una red; los círculos son los nodos y las líneas que los conectan, los arcos. Cada origen y destino queda representado por un nodo y cada ruta de embarque posible por un arco. La oferta o suministro se escribe al lado de cada nodo origen y la demanda se escribe al lado de cada nodo destino.

Representación en Red del problema de transporte de XYZ

Los bienes embarcados de los orígenes hacia los destinos representan el flujo en la red. Note que la dirección de flujo (de origen a destino) queda representada por las flechas.

Para el problema de transporte de XYZ, el objetivo es determinar las rutas a usar y la cantidad a embarcar en cada una de ellas, y que den el mínimo costo de transporte total. El costo de cada unidad embarcada en cada una de las rutas aparece en la tabla siguiente y se muestra en cada uno de los arcos de la figura anterior.

Buenos Río de

Aires Janeiro Bogotá Caracas

Quito 3 2 7 6

Lima 7 5 2 3

Santiago 2 5 4 5

Para resolver este problema de transporte se puede utilizar un modelo de programación lineal. Utilizaremos variables de decisión con dobles subíndices, indicando con X11 el número de unidades que se embarcan del origen 1 (Quito) al destino 1 (Buenos Aires), con X12 el número de unidades embarcadas del origen 1 (Quito) al destino 2 (Río de Janeiro), y así sucesivamente. En general, para un problema de transporte con m orígenes y n destinos, las variables de decisión se escriben como sigue:

xij=número de unidades embarcadas del origen i hasta el destino j

Donde i = 1,2,…,m y j = 1,2,…,n

En vista de que el objetivo del problema de transporte es minimizar el costo total del transporte, podemos utilizar, para desarrollar las siguientes expresiones de costo, los datos de costo de la tabla anterior o que aparecen sobre los arcos de la Red anterior.

Costo de transporte para unidades embarcadas desde Quito = 3x11 + 2x12 + 7x13 + 6x14

Costo de transporte para unidades embarcadas desde Lima = 7x21 + 5x22 + 2x23 + 3x24

Costo de transporte para unidades embarcadas desde Santiago = 2x31 + 5x32 + 4x33 + 5x34

La suma de estas expresiones nos da la función objetivo que nos muestra el costo total de transporte de XYZ.

Los problemas de transporte necesitan restricciones, dado que cada uno de los orígenes tiene un suministro limitado y cada destino tiene una demanda específica. Veremos que en primer término las restricciones de suministro. La capacidad de la planta de Quito es de 5 000 unidades. Con el número total de unidades que se embarcan desde la planta de Quito expresado de la forma x11+x12+x13+x14, la restricción de suministro de la planta de Quito será:

x11 + x12 + x13 + x14 ≤ 5000 Suministro de Quito

Con tres orígenes (plantas), el problema de transporte de Foster tiene tres restricciones de suministro. Dada la capacidad de 6 000 unidades en la planta de Lima y de 2500 unidades en Santiago, las dos restricciones de suministro adicionales son:

x21 + x22 + x23 + x24 ≤ 5 000 Suministro de Lima

x31 + x32+ x33 + x34 ≤ 5 000 Suministro de Santiago

Con los cuatro centros de distribución como destino se requiere de cuatro restricciones de demanda para asegurar que se satisfarán las demandas en los destinos:

x11 + x21 + x31 = 6 000 Demanda

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