Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado
Enviado por kesiaalanis • 8 de Noviembre de 2013 • 1.061 Palabras (5 Páginas) • 407 Visitas
Nombre: Matrícula:
Nombre del curso:
Nombre del profesor:
Módulo:
Módulo 3
Actividad:
Actividad Integradora 3
Fecha: 22-oct-2013
Bibliografía:
Zill, D (2006). Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado (8a Ed.). México: Cengage
Learning.
ISBN: 9706864873.
Ejercicios a resolver:
Resuelve cada uno de los siguientes problemas, para ello es necesario que revises y
comprendas los ejemplos explicados en el material. No olvides incluir todo el procedimiento
necesario para llegar a la respuesta.
1.Encuentra el valor de convergencia de las siguientes series:
a. Σn
=1
∞ 2n(x5)n
8n5
b. Σn
=0
∞
( 1
4
)
n
(x+2)n
c. Σn
=0
∞
n5(x4)n
2.Determina si las siguientes series son convergentes o no.
a.
2n
n2 xn
b. ( 2n
x2 ) xn
c. 7xn !
3.Calcula el desarrollo en series de potencias de las siguientes funciones (utiliza
derivadas):
Profesional
Práctica de ejercicios
a. y= 1
1+2x3
b. y=cos 4x
c. y=e8x
4. Resuelve las ecuaciones diferenciales utilizando el método de series de potencia
a. y ' ' +3xy' +(2x2+6) y=0
b. y ' ' – 4xy ' +(3x2 – 8) y=0
c. y ' ' +3xy' +5y=0
5. Obtén la transformada de Laplace de las siguientes funciones:
a. f (t )=Sen4t +e3t
b. f (t )=e3t
c. f (t )=t5+e2t
6. Aplica la transformada inversa de Laplace para las siguientes funciones:
a. H (s)=
7(3s+1)
(s3)(s2+10s13)
b. H ( s)=
6(s+2)
s3( s5)
c. H ( s)= s
( s+2)
Procedimientos:
1.
a) Σn
=1
∞ 2n(x5)n
8n5
Profesional
Práctica de ejercicios
Conocemos que una suma como Σn
=1
∞
an= 1
1a , tendrá a<1 siempre.
Así, no se puede resolver la sumatoria.
b) Σn
=0
∞
( 1
4
)
n
(x+2)n
Conocemos que una suma como Σn
=1
∞
an= 1
1a , tendrá a<1 siempre.
Así: a=
( x+2)
4 , pasamos a sustituir esto y obtenemos:
Σn
=1
∞
( 1
4
)
n
( x+2)n= 4
x2
pero como a<1 → a=
( x+2)
4
<1
así:
x<2
c) Σn
=0
∞
n5(x4)n
Conocemos que una suma como Σn
=1
∞
an= 1
1a , tendrá a<1 siempre.
Así, no se puede resolver esta sumatoria.
2.
a)
2n
n2 xn
Conocemos que una serie converge tiene un limite menor a uno, así identificamos lo necesario
para la resolución del ejercicio:
cn=( 2n
n2 )
así:
Profesional
Práctica de ejercicios
∣x∣limn→∞∣ 2n2
(n+1)2∣ → ∣x∣(2) pero como L<1
Converge cuando x esta en el rango:
1
2
< x< 1
2
.
b) ( 2n
x2 ) xn
Conocemos que una serie converge tiene un limite menor a uno, así identificamos lo necesario
para la resolución del ejercicio:
cn=( 2n
x2 ) xn
así
∣x∣limn→∞∣2(n+1)
2n ∣ → ∣x∣(1) pero como L<1
Converge cuando x esta en el rango:
1< x<1
c) 7xn !
Conocemos que una serie converge tiene un limite menor a uno, así identificamos lo necesario
para la resolución del ejercicio:
cn=7xn
así:
limn→∞∣x∣ → x pero como L<1
Converge cuando x esta es
x<1
3.
Profesional
Práctica de ejercicios
a) y= 1
1+2x3
Conocemos que la serie de Taylor trabaja con derivadas y como en la instrucción nos piden
resolverlo por medio de derivadas utilizamos este método:
f (x )=Σn
=0
∞ f n(a)
n!
( xa )n
Así, hallamos la primera y segunda derivadas
y '= 6x2
(1+2x3 )2
y ' '= 72x4
(1+2x3)3 12x
(1+2x3)2
Sustituimos x=1 , por fácil resolución y obtenemos:
y= 1
1+2x3=1
3
y '= 6x2
(1+2x3)2=2
3
y '= 72x4
(1+2x3)3 12x
(1+2x3)2=4
3
así:
1
1+2x3=1
3
2
3
(x1)+ 4
3(2 !)
(x1)2 ...
b) y=cos 4x
Conocemos que la serie de Taylor trabaja con derivadas y como en la instrucción nos piden
resolverlo por medio de derivadas utilizamos este método:
f (x )=Σn
=0
∞ f n(a)
n !
( xa )n
Así, hallamos la primera y segunda derivadas:
y '=4 sen(4x)
y ' '=16 cos(4x)
Sustituimos x=0 , por fácil resolución y obtenemos:
Profesional
Práctica de ejercicios
y=1
y '=0
y ' '=16
así:
cos x=1+0( x – 0)–
16
2!
(x0)2 ... óó cos x=1– 8x2 ...
c) y=e8x
Conocemos que la serie de Taylor trabaja con derivadas y como en la instrucción nos piden
resolverlo por medio de derivadas utilizamos este método:
f (x )=Σn
=0
∞ f n(a)
n !
( xa )n
Así, hallamos la primera y segunda derivadas:
y '=8 e8x
y ' '=64 e8x
Sustituimos x=0 , por fácil resolución y obtenemos:
y=1
y '=8
y ' '=64
así:
e2x=1 –8( x0)+ 64
2!
( x0)2
ó e2x=18x+32x2 ...
4.
a) y ' ' +3xy' +(2x2+6) y=0
Primero
...