Distribuciones De Probabilidad Para Variables Discretas

Distribuciones de probabilidad para variables discretas

Recordemos inicialmente que existen las variables aleatorias, siendo aquellas que se asocian a la ocurrencia de un fenómeno aleatorio. Cuando una de estas variables aleatorias toma diversos valores, la probabilidad asociada a cada uno de tales valores puede ser organizada como una distribución de probabilidad, la cual es la distribución de las probabilidades asociadas a cada uno de los valores de la variable aleatoria.

Las distribuciones de probabilidad pueden representarse a través de una tabla, una gráfica o una fórmula, en cuyo caso tal regla de correspondencia se le denomina función de probabilidad.

Consideraremos primero las distribuciones de probabilidad para variables discretas.

Por ejemplo: Consideremos a la variable aleatoria X como la cantidad de águilas observadas cuando se lanzan dos volados. El espacio muestral es el conjunto {AA, AS, SA, SS} y se puede ver que la variable X puede tomar como valores 0, 1 y 2.

Calculando las probabilidades tenemos:

P(de no observar águilas) = P(SS) = P(X=0) = ¼

P(de observar una águila) = P(SA È AS) = P(X=1) = 2/4

P(de observar dos águilas) = P(AA) = P(X=2) = ¼

Si ahora se organizan estos resultados con el siguiente formato

X P(X=x)

0 ¼

1 2/4

2 ¼

se podrá explicar por qué se usa el nombre "distribución de probabilidad".

Las propiedades de las distribuciones de variables discretas son dos, y que posteriormente, al hablar de las distribuciones de variables continuas, se repetirán de manera muy similar:

0 £ P(X=x) £ 1.

SP(X=x) = 1, o que es lo mismo: la suma de todas las probabilidades de los eventos posibles de una variable aleatoria es igual a la unidad.

Hay que hacer notar que estas propiedades se enuncian suponiendo que conocemos el valor de la probabilidad, pero en la realidad ésto no ocurre, es decir que no sabemos la probabilidad y lo que se hace es trabajar con estimaciones. Precisamente esto nos lleva a modelos teóricos que estiman los resultados, los principales son los que a continuación se presentan.

Media y desviación estándar de una distribución de probabilidad para variables discretas

En una *a href*distribución de frecuencias para datos agrupados se calculaba la media utilizando la fórmula , la cual puede expresarse como

Considerando la definición de probabilidad de un evento, P(X) es el cociente de la frecuencia entre el número total de eventos (probabilidad frecuencial de ocurrencia), por lo que la media de una distribución de probabilidad de una variable discreta es:

Por ejemplo: Consideremos la variable X del ejemplo de águilas observadas en dos lanzamientos de monedas. Es decir, X tal que su distribución de probabilidad sea:

X P(X=x)

0 ¼

1 ½

2 ¼

Entonces, para calcular su media m se realiza:

Similarmente, la *a href*varianza se definió como , y haciendo un tratamiento análogo anterior tenemos que

para que, finalmente, la varianza de una distribución de probabilidad de una variable discreta sea:

Consecuentemente, la desviación estándar de una distribución de probabilidad de una variable discreta es:

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