Operaciones basicas de vectores en R2 YR3

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Operaciones Básicas sobre vectores en  y [pic 1][pic 2]

• Producto de un Vector por un escalar

El producto de un escalar por un vector da por resultado otro vector, con la misma dirección que el   primero. Al hacer la multiplicación, el escalar cambia el módulo del vector (gráficamente el largo) y en caso de ser negativo cambia también el sentido. La dirección del vector resultado es siempre la misma que la del vector original.

Matemáticamente se realiza multiplicando al escalar por cada una de las componentes del vector.

Si por ejemplo el vector V tiene 2 coordenadas:

[pic 3]

Ejemplo 1

[pic 4]

[pic 5]

Ejemplo 2

[pic 6][pic 7]

  Si los vectores son de más de dos coordenadas se realiza lo mismo por cada una de ellas

• Propiedades de las Operaciones Básicas

Propiedades de la Adición vectorial

• Asociativa :   se da cuando se encuentra una igualdad en la suma de los  elementos vectoriales

         (u + v) + w = u + (v + w)

• Conmutativa: se da cuando operación se cambia de los vectores y permanece invariable el resultado  

          u + v = v + u

• Existencia de identidad aditiva: es cuando uno o varios  vectores están en adición o suma con un cero, el cual no cambiara el valor de ningún vector.

          u + 0 = u

• Existencia de inverso aditivo es cuando un vector es sumado o restado por su opuesto ,lo cual dará como resultado 0  

           u + (-u) = 0

Propiedades de la multiplicación por escalares

• Distributiva: cuando se trata de un escalar por dos o más vectores, se multiplica el escalar por el vector y luego se suma.  

           a (u + v) = au + av

Cuando se trata de un vector por dos o más escalares, se multiplica el vector por cada escalar y luego se suma.  

          (a+b). V= av+ bv

• Asociativa:  se da cuando se encuentra una igualdad en la multiplicación  de los  elementos  (vector y escalar )

           (a. v). b= v. (a . b)

• Existencia de unidad multiplicativa: también conocido como elemento neutro, cuando  es multiplicado por cualquier otro valor en un conjunto, vuelve el otro valor. Para los números reales, el elemento neutro de la multiplicación es 1. Éste es un resultado de la propiedad multiplicativa de 1: para cualquier número real  

           1u = u

• Producto escalar o producto punto Proyecciones

El producto escalar, también conocido como producto interno, producto interior o

Producto punto, es una operación algebraica que toma dos secuencias de números

De igual longitud (usualmente en la forma de vectores) y retorna un único número.

Algebraicamente, el producto punto es la suma de los productos de las

Correspondientes entradas en dos secuencias de número. Geométricamente, es el

Producto de dos magnitudes euclidianas de los dos vectores y el coseno del ángulo

Entre ellos. El nombre de producto punto se deriva del símbolo que se utiliza para

Denotar esta operación " ·”. El nombre alternativo de producto escalar enfatiza el

Hecho del que el resultado es un escalar en lugar de un vector (en el caso de

Espacios de tres dimensiones).

Propiedades

• Conmutativa : el orden lo los escalares y vectores no altera el resultado

               A * B = B * A

• Distributiva respecto a la suma vectorial, el vector A multiplica a los vectores asociados y expresar su respuesta en suma.

               A * (B+C) = A * B + A * C

• . Asociatividad: respecto al producto por un escalar m el escalar puede asociarse con uno de los vectores A o B (multiplicar) y el resultado multiplicarlo por el siguiente vector A o B.

              m(A*B) = (mA) * B = A * (mB)

• Ángulos entre dos vectores

El ángulo entre dos vectores se define como el ángulo que forman sus rectas de acción, supuestas   concurrentes.

Para calcular el ángulo de 2 vectores se utiliza la siguiente formula

  Donde 𝐴⋅𝐵 es Producto escalar y  ‖𝐴‖‖𝐵‖ son Magnitudes de los vectores A y B[pic 8]

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