Actividad 2: Operaciones de axiomas de números reales

UNIDAD 1: NÚMEROS REALES Y FUNCIONES

Actividad 2: Operaciones de axiomas de números reales

Resuelve los siguientes ejercicios, tomando en cuenta los axiomas de los números reales

1. Dado , donde y , demuestre que .

z<0, por lo tanto es z= |-z|

x>y serán multiplicadas por |-z|

x*|-z|>y|-z|

x*z>y*z se aplicó valor absoluto a z

xz>yz

2. Demuestre que para cualesquiera tales que y entonces .

Propiedad de la cerradura

0 < x < y por lo tanto es x-y

0 < z < w por lo tanto es z-w

z(x-y)+y(z-w)

xz-yz+yz-yw

xz-yw entonces xz < yw

3. Demuestre por inducción matemáticas que dados tales que demostrar que para cualesquiera .

Entonces x<y, se aplica el inverso multiplicativo

(xn)-1 < (yn)-1= 1/xn < 1/yn

4. Resolver la ecuación .

x+ |2x-5 |=1+ |x |

x+2x+5=1+x

3x+5=1+x

3x-x=1-5

2x=-4

X= (4/-2) x=-2

5. Resolver la desigualdad .

x2-x-12≤0

(x-4) (x+3)≤0

x-4≤0 x+3≤0

x1≤ 4 x2≤ -3

6. Resolver la desigualdad .

(x+1/x-1) ≥ 2

x+1 ≥ 2(x-1)

x+1 ≥ 2x-2

x-2x ≥ -2-1

-x ≥ -3 entonces x≥ 3

7. Demuestre que para cualesquiera y .

Cuando x≥0 y y≥0

|x|/|y|=|x|/|y|

Cuando x≥0 y y<0, entonces |x|=x y |y|= -y, como no se sabe si x+y es positivo o es negativo. Se procede por subcasos, cuando x+y≥0, entonces |x/y|=x/y<x-y; cuando x+y<0 se tiene que |x/y|=-(x/y)=-x/-y<x/-y, en ambos casos se tiene que |x/y|<x/-y=x/-y=|x|/|y|.

Cuando x<0 y y<0, entonces |x|=-x y |y|=-y, luego se tiene que |x/y|=-(x/y)=-x/-y=|x|/|y|. Por lo tanto, se tiene que |x/y|≤|x|/|y| para cuales quiera x,y ϵ R.

8. Resolver la desigualdad .

No tiene solución esta desigualdad, ni con la fórmula de ecuaciones de segundo grado mejor conocida como chicharronera ya que en la raíz nos sale negativa, por lo tanto la solución no pertenece al plano de los reales.

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