Aplicacion De La Integral Indefinida

APLICACIÓN

DE LA

INTEGRAL

INDEFINIDA

ÍNDICE

Introducción………………………………………………………………………………………………….iv

Integral…………………………………………………………………………………………………………v

• Teoría………………………………………………………………………………………………..vii

• Historia……………………………………………………………………………………………..viii

Integral indefinida (aplicación)……………………………………………………………………….xi

• Linealidad…………………………………………………………………………………………..xii

• Propiedades………………………………………………………………………………………xiii

• Métodos de sustitución………………………………………………………………………..xv

Aplicaciones…………………………………………………………………………………………………xlii

• Aplicaciones geométricas y mecánicas de la integral indefinida……………….xlii

• Desplazamiento de la velocidad y la velocidad de aceleración………………….liii

• Desplazamiento y fórmulas de velocidad……………………………………………….lvi

• Voltaje a través de un condensador………………………………………………………lvi

• Área bajo la curva………………………………………………………………………………lvii

• Espacio entre dos curvas……………………………………………………………………lxiv

• Volumen de solidos de revolución………………………………………………………..lxv

• El trabajo de un grupo de variables…………………………………………………….lxix

• Aplicación en la economía…………………………………………………………………..lxx

Conclusión………………………………………………………………………………………………..lxxiii

Bibliografía……………………………………………………………………………………………….lxxiv

INTRODUCCIÓN

Se inicia en este tema el estudio de la integral, concepto fundamental de lo que se conoce como cálculo infinitesimal, que alcanzó su auge y desarrollo durante el siglo XVII.

La finalidad de este trabajo es mostrar las aplicaciones de la integral indefinida y así mismo nosotros tener conocimiento de lo que es y su función.

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.

INTEGRAL

La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.

Integral indefinida

Es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.

Se representa por ∫ f(x) dx.

Se lee:

integral de x diferencial de x.

∫ es el signo de integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.

Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:

∫ f(x) dx = F(x) + C

Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.

Linealidad de la integral indefinida

1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.

∫[f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx +∫ g(x) dx

2. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx

Teoría

Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral

es igual al área de la región del plano xy limitada entre la gráfica de f, el eje x, y las líneas verticales x = a y x = b, donde son negativas las áreas por debajo del eje x.

La palabra "integral" también puede hacer referencia a la noción de primitiva: una función F, cuya derivada es la función dada f. En este caso se denomina integral indefinida. Algunos autores mantienen una distinción entre integrales primitivas e indefinidas.

Newton y Leibniz a finales del siglo XVII. A través del teorema fundamental del cálculo, que desarrollaron los dos de forma independiente, la integración se conecta con la derivación, y la integral definida de una función se puede calcular fácilmente una vez se conoce una antiderivada. Las integrales y las derivadas pasaron a ser herramientas básicas del cálculo, con numerosas aplicaciones en ciencia e ingeniería.

Bernhard Riemann dio una definición rigurosa de la integral. Se basa en un límite que aproxima el área de una región curvilínea a base de partirla en pequeños trozos verticales. A comienzos del siglo XIX, empezaron a aparecer nociones más sofisticadas de la integral, donde se han generalizado los tipos de las funciones y los dominios sobre los cuales se hace la integración. La integral curvilínea se define para funciones de dos o tres variables, y el intervalo de integración [a,b] se sustituye por una cierta curva que conecta dos puntos del plano o del espacio. En una integral de superficie, la curva se sustituye por un trozo de una superficie en el espacio tridimensional.

Las

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