Aplicacion De Las Ecuaciones Diferenciales De Primer Orden

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Decaimiento o Desintegración Radiactiva.

La tasa o rapidez con que los núcleos de una sustancia radiactiva se desintegran, es proporcional a la cantidad de sustancia radiactiva presente en cualquier instante t.

Modelo matemático:

Sean:

: es la cantidad de sustancia radiactiva presente en el momento t.

: rapidez de desintegración de la sustancia radiactiva.

Vida media de una sustancia radiactiva:

Definición:

La vida media de una sustancia radiactiva es el tiempo necesario para que la sustancia radiactiva se desintegre en un 50% de la cantidad inicial.

En base a la definición, se puede demostrar que la vida media está dada por:

EJEMPLOS:

• Un reactor de reproducción convierte al uranio 238, relativamente estable, en plutonio 239, un isótopo radiactivo. Al cabo de 15 años se tiene que se ha desintegrado 0.043% de la cantidad inicial de una muestra de plutonio. Calcule la vida media de este isótopo, si la rapidez de desintegración es proporcional a la cantidad restante.

• El Pb-209, isótopo radiactivo del plomo, se desintegra con una rapidez proporcional a la cantidad presente en cualquier tiempo t y tiene una vida media de 3.3 horas. Si al principio había 1 gramo de plomo, ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que se desintegre el 90% de la cantidad original?

Ley de calentamiento / enfriamiento de Newton.

La rapidez con la que varía la temperatura T de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre las temperaturas del cuerpo T y del medio que le rodea Tm, en cualquier instante t.

Modelo matemático:

Sean:

: es la temperatura del cuerpo presente en el momento t.

: rapidez con la que varía la temperatura T del cuerpo.

: temperatura del medio que le rodea al cuerpo.

Ejemplos:

• Al sacar un pastel del horno, su temperatura es de 300°F. Después de tres minutos, la temperatura es de 200°F. ¿En cuánto tiempo se enfriará el pastel hasta la temperatura ambiente de 70°F.

• Un termómetro que indica 70°F se coloca en un horno precalentado a temperatura constante. A través de una ventana del vidrio del horno, un observador registra que la temperatura es de 110°F después de ½ minuto y de 145°F después de 1 minuto. ¿A qué temperatura está el horno?

• Era el mediodía de un frío día de Diciembre en la ciudad de Tampa con una temperatura de 16°C. El detective Taylor llegó a la escena de un crimen donde halló al sargento sobre el cadáver. El sargento dijo que había varios sospechosos. Si supieran el momento exacto de la muerte podrían reducir la lista de sospechosos. El detective Taylor sacó el termómetro y tomó la temperatura del cuerpo el cual era de 34.5°C. Luego salió a comer y al regresar a la 1PM determinó que la temperatura del cuerpo era de 33.7°C. ¿En qué momento ocurrió el asesinato? (Se supone que la temperatura normal del cuerpo vivo es de 37°C).

• Una taza de café es preparada, con agua hirviendo, en una cocina que se mantiene a una temperatura de 30°C. En la cocina, durante 5 minutos, se deja enfriar la taza de café, alcanzando una temperatura de 90°C; y a los 8 minutos, la taza de café es llevada al comedor. El ambiente en el comedor permanece a una temperatura constante de 18°C, después de dos minutos se observa que la temperatura de la taza de café es 65°C. ¿A los cuántos minutos de estar la taza de café en el comedor, puede ser ingerido el café si la temperatura óptima para tomarlo es de 45°C?

Aplicaciones Mecánica: Segunda Ley de Newton.

La rapidez o la razón de cambio con respecto al tiempo de la cantidad de movimiento de un cuerpo es proporcional a la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo y está en la dirección de esta fuerza resultante.

Modelo matemático:

Sean:

: es

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