Canavos Ejercicios Capitulo 3

3.1 Sea X una variable aleatoria que representa el número de llamadas telefónicas que recibe

un conmutador en un intervalo de conco minutos y cuya función de probabilidad está dada

por la función p(x)=(e^(-3)∙ 3^x)/x!

Determinar la probabilidad de que X sea igual a x = 0,1,2,…,7.

x P(x)

0 0,04978706837

1 0,14936120510

2 0,22404180766

3 0,22404180766

4 0,16803135574

5 0,10081881344

6 0,05040940672

7 0,02160403145

De acuerdo a los datos anteriores la gráfica es:

Dada la función p(x)=(e^(-3)∙ 3^x)/x! ,para x = 0,1,2,…,7.

Los valores para la función de distribución acumulativa son:

x F(x)

0 0,04978706837

1 0,19914827347

2 0,42319008113

3 0,64723188878

4 0,81526324452

5 0,91608205797

6 0,96649146469

7 0,98809549614

De acuerdo a los datos anteriores,la gráfica es:

3.2 Sea X una variable aleatoria discreta.

Determinar el valor k para que la función p(x)=k/x,x=1,2 ,3 ,4,

sea la función de probabilidad de X.

Es decir

p(x)=∑_(x=1)^4▒k/x=1

Luego,

k/1+k/2+k/3+k/4=1

(24k+12k+8k+6k)/24=1

50k=24

k=24/50=12/25

Siendo la función p(x)=12/25x,x=1,2,3,4

Determinar P(1≤X≤3).

P(1≤X≤3)=P(X≤3)-P(X≤1)

P(1≤X≤3)=12/25+12/50+12/75-12/25=40/100=0,4

3.3Sea X una variable aleatoria continua

Determinar el valor de k,de manera tal que la función

f(x)={█(kx^2 -1≤x≤1@ 0 para otro valor)┤

Sea la función de densidad de probabilidad de X

∫_(-1)^1▒〖kx^2 dx〗=1

∫_(-1)^1▒〖kx^2 dx〗=├ (kx^3)/3┤|_(-1)^1=k/3+k/3=2k/3=1

k=3/2

Determinar la función de distribución acumulada de X y graficar F(x)

F(x)=∫_(-1)^1▒〖3/2 x^2 dx〗=├ (3x^3)/6┤|_(-1)^x=(x^3+1)/2

F(x)={█( 0 x<-1@(x^3+1)/2 -1≤x≤1@ 1 x>1)┤

Calcular P(X≥1/2) y P(-1/2≤X≤1/2)

P(X≥1/2)=1-P(X≤1/2)=1-(((1/2)^3+1)/2)=1-9/16=7/16

P(-1/2≤X≤1/2)=P(X≤1/2)-P(X≤-1/2)=9/16-7/16=2/16=1/8

3.4Sea X una variable aleatoria continua.

a) Determinar el valor de k para que la funciónf(x)= {█(〖ke〗^((-x)/5) para x>0@0 para cualquier otro valor)┤

Sea la función de densidad de probabilidad de X

∫_(-∞)^∞▒〖f(x)dx=1 〗

Pero dado que f(x)=0 si x≤0, entonces:

k∫_0^∞▒e^(-x/5) dx=1 Sea u= (-x)/5 du=- 1/5 dx ; dx=-5du

Luego: -5k∫_0^∞▒〖e^u du = -5ke^u 〗 |■(∞@0)┤=1

Asi: -5K[0-1]=1 ; 5K=1 , luego: K=1/5

b) Graficar f(x)

c) Calcular P(X≤5) y P(0≤X≤8)

Para hallar P(X≤5)

Se debe hallar F(X) la función de distribución acumulativa,dada por:

F(x)=∫_(-∞)^x▒f(t)dt=∫_(-∞)^0▒〖0 dt〗+1/5 ∫_0^5▒e^(-t/5) d

Sean: u= (-t)/5 du=-1/5 dt ; dt=-5du , entonces:

1/5 ∫_0^5▒e^(-t/5) d=-5/5 ∫_0^5▒〖e^u du = -1e^u 〗 |■(5@0)┤=-1e^(-t/5) |■(5@0)┤

-1e^(-t/5) |■(5@0)┤=-1[e^(-5/5)-e^0 ]=- e^(-1)+1= 1- e^(-1) para x ≥0

P(X≤5)=1-e^(-1)=0,632

Para hallar P(0≤X≤8)

P(0≤X≤8)=∫_0^8▒f(x)dx=1/5 ∫_0^8▒e^(-x/5) dx =F(8)-F(0)

=[1-e^(-8/5) ]-[1-e^0 ]=1-e^(-8/5)=0,798

d) Determinar F(x) y graficarla.

F(x)=∫_(-∞)^x▒〖f(t)dt〗=∫_(-∞)^0▒〖0 dt〗+1/5 ∫_0^x▒e^(-t/5) dt

Sean: u= (-t)/5 du=-1/5 dt ; dt=-5du ; luego:

-5/5 ∫_0^x▒〖e^u du = -1e^u 〗 |■(x@0)┤=-1e^(-t/5) |■(x@0)┤

-1[e^(-x/5)-e^0 ]=- e^(-x/5)+1= 1- e^(-x/5)

Luego F(X)=1- e^(-x/5) para x ≥0 y F(X)=0 para x≤0

Grafica:

3.5 La duración en horas de un componente electrónico,es una variable aleatoria cuya función

de distribución acumulada es F(x)=1- e^((-x)/100)

Para determinar la función de probabilidad debemos derivar la función de distribución

acumulativa,pues ésta última está definida por el área acotada por la función de densidad.

d/dx (1- e^((-x)/100) ) :

d/dx (1)- d/dx (e^((-x)/100) )

Si y=e^((-x)/100) y (-x)/100=u,entonces,dy/dx dx/du

d/dx (e^((-x)/100) )= e^((-x)/100)

d/du ((-x)/100)= (-1)/100

Por tanto:

d/dx (1- e^((-x)/100) )= 1/100 e^((-x)/100)

Para conocer la probabilidad de que el componente trabaje más de 200 horas se

calcula conociendo el complemento de la función de probabilidad acumulativa en 200,así:

p ( x>200)= 1- F (200)=1-(1- e^((-200)/100) )=1- 0,864664=0,135335

3.6 La función de distribución acumulativa de una variable aleatoria está dada por

f(x)={█(█(0 x<0@2x-x^2 0<x<1)@1 x>1)┤

Graficar f(x)

Obtener P(X<1/2)y P(X>3/4)

P(X<1/2)=2(1/2)-(1/2)^2=1-1/4=3/4

P(X>3/4)=1-P(X<3/4)=1-F(3/4)=1-[2(3/4)-(3/4)^2 ]=1-15/16=1/16=0,063

Determinar f(x)

f(x)=(dF(x))/dx=(d(2x-x^2))/dx=2-2x

Entonces

f(x)={█(2-2x 0<x<1@0 para otro caso)┤

3.7 Sea X una variable aleatoria que representa el número de clientes que llega a una tienda

en un periodo de un hora.Dada la siguiente información

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8

P(x) 0,05 0,10 0,10 0,10 0,20 0,25 0,10 0,05 0,05

Encontrar

E(X)=∑_(i=0)^8▒〖x∙f(x) 〗

E(X)=(0*0,05)+(1+0,10)+(2*0,10)+(3*0,10)+(4*0,20)+(5*0,25)+(6*0,10)+(7*0,05)+(8*0,05)

E(X)=0+0,10+0,20+0,30+0,80+1,25+0,60+0,35+0,40

E(X)=4

Var(x)=E(x^2 )-〖E(x)〗^2

E(X^2 )=(0*0,05)+(1+0,10)+(4*0,10)+(9*0,10)+(16*0,20)+ (25*0,25)+(36*0,10)+(49*0,05)+(64*0,05)

E(x^2 )=0+0,10+0,40+0,90+3,20+6,25+3,60+2,45+3,20

E(x^2 )=20,10

Var(x)=E(x^2 )-〖E(x)〗^2=20,10-16=4,10

...